Groupe réductifEn mathématiques, un groupe réductif est un groupe algébrique G sur un corps algébriquement clos tel que le radical unipotent de G (c'est-à-dire le sous-groupe des éléments unipotents de ) soit trivial. Tout est réductif, de même que tout tore algébrique et tout groupe général linéaire. Plus généralement, sur un corps k non nécessairement algébriquement clos, un groupe réductif est un groupe algébrique affine lisse G tel que le radical unipotent de G sur la clôture algébrique de k soit trivial.
Fonction Lvignette|Représentation de la fonction ζ de Riemann, exemple le plus classique de fonction L En mathématiques, la théorie des fonctions L est devenue une branche très substantielle, et encore largement conjecturelle, de la théorie analytique des nombres contemporaine. On y construit de larges généralisations de la fonction zêta de Riemann et même des séries L pour un caractère de Dirichlet et on y énonce de manière systématique leurs propriétés générales, qui dans la plupart des cas sont encore hors de portée d'une démonstration.
Anneau adéliqueEn mathématiques et dans la théorie des nombres, l'anneau adélique, ou anneau des adèles, est un anneau topologique contenant le corps des nombres rationnels (ou, plus généralement, un corps de nombres algébriques), construit à l'aide de toutes les complétions du corps. Le mot « adèle » est une abréviation pour « additive idele » (« idèle additive »). . Les adèles étaient appelées vecteurs de valuation ou répartitions avant 1950.
Hypothèse de RiemannEn mathématiques, l'hypothèse de Riemann est une conjecture formulée en 1859 par le mathématicien allemand Bernhard Riemann, selon laquelle les zéros non triviaux de la fonction zêta de Riemann ont tous une partie réelle égale à 1/2. Sa démonstration améliorerait la connaissance de la répartition des nombres premiers et ouvrirait des nouveaux domaines aux mathématiques. Cette conjecture constitue l'un des problèmes non résolus les plus importants des mathématiques du début du : elle est l'un des vingt-trois fameux problèmes de Hilbert proposés en 1900, l'un des sept problèmes du prix du millénaire et l'un des dix-huit problèmes de Smale.
Loi de réciprocité d'ArtinEn mathématiques, la 'loi de réciprocité d'Artin' est un résultat important de théorie des nombres établi par Emil Artin dans une série d'articles publiés entre 1924 et 1930. Au cœur de la théorie du corps de classe, la réciprocité d'Artin tire son nom d'une parenté avec la réciprocité quadratique introduite par Gauss, et d'autres lois d'expression similaire, la réciprocité d'Eisenstein, de Kummer, ou de Hilbert. Une des motivations initiales derrière ce résultat était le neuvième problème de Hilbert, auquel la réciprocité d'Artin apporte une réponse partielle.
Fonction thêtaEn mathématiques, on appelle fonctions thêta certaines fonctions spéciales d'une ou de plusieurs variables complexes. Elles apparaissent dans plusieurs domaines, comme l'étude des variétés abéliennes, des espaces de modules, et les formes quadratiques. Elles ont aussi des applications à la théorie des solitons. Leurs généralisations en algèbre extérieure apparaissent dans la théorie quantique des champs, plus précisément dans la théorie des cordes et des D-branes.
Adelic algebraic groupIn abstract algebra, an adelic algebraic group is a semitopological group defined by an algebraic group G over a number field K, and the adele ring A = A(K) of K. It consists of the points of G having values in A; the definition of the appropriate topology is straightforward only in case G is a linear algebraic group. In the case of G being an abelian variety, it presents a technical obstacle, though it is known that the concept is potentially useful in connection with Tamagawa numbers.
Siegel modular formIn mathematics, Siegel modular forms are a major type of automorphic form. These generalize conventional elliptic modular forms which are closely related to elliptic curves. The complex manifolds constructed in the theory of Siegel modular forms are Siegel modular varieties, which are basic models for what a moduli space for abelian varieties (with some extra level structure) should be and are constructed as quotients of the Siegel upper half-space rather than the upper half-plane by discrete groups.
Théorème de modularitéLe théorème de modularité (auparavant appelé conjecture de Taniyama-Weil ou conjecture de Shimura-Taniyama-Weil ou conjecture de Shimura-Taniyama) énonce que, pour toute courbe elliptique sur Q, il existe une forme modulaire de poids 2 pour un Γ(N), ayant même fonction L que la courbe elliptique. Une grande partie de ce résultat, suffisante pour en déduire le dernier théorème de Fermat, a été démontrée par Andrew Wiles. S'inspirant de ses techniques, Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond et Richard Taylor ont traité les cas restants en 1999.
Arithmetic groupIn mathematics, an arithmetic group is a group obtained as the integer points of an algebraic group, for example They arise naturally in the study of arithmetic properties of quadratic forms and other classical topics in number theory. They also give rise to very interesting examples of Riemannian manifolds and hence are objects of interest in differential geometry and topology. Finally, these two topics join in the theory of automorphic forms which is fundamental in modern number theory.
