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Concept
Espace dénombrablement compact
Résumé
En mathématiques, un espace dénombrablement compact est un espace topologique dont tout recouvrement par une famille dénombrable d'ouverts possède un sous-recouvrement fini. La notion de compacité dénombrable entretient des rapports étroits avec celles de quasi-compacité et compacité et celle de compacité séquentielle. Pour un espace métrisable, ces quatre notions sont équivalentes.
Soit X un espace topologique (non supposé séparé). Si l'une des trois propriétés suivantes est vérifiée alors toutes trois le sont et X est dit dénombrablement compact :
tout recouvrement dénombrable de X par des ouverts possède un sous-recouvrement fini (ou encore : l'intersection de toute suite décroissante de fermés non vides est non vide) ;
dans X, toute suite a au moins une valeur d'adhérence ;
toute partie infinie a un point d'accumulation.
Cet énoncé fait appel à deux définitions auxiliaires : un point x de X est :
valeur d'adhérence d'une suite u si, pour tout voisinage V de x, il existe une infinité d'indices n tels que le terme u appartienne à V, autrement dit si x appartient à l'intersection de la suite décroissante de fermés non vides ;
point d'accumulation d'une partie Y de X si tout voisinage de x contient une infinité de points de Y.
Un espace X est dit :
quasi-compact si tout recouvrement de X par des ouverts possède un sous-recouvrement fini (compact s'il est quasi-compact et séparé) ;
de Lindelöf si tout recouvrement de X par des ouverts possède un sous-recouvrement dénombrable.
On a donc trivialement, avec la première des trois définitions équivalentes ci-dessus :
Quant à la deuxième des trois définitions ci-dessus, elle ressemble beaucoup à la caractérisation suivante de la quasi-compacité, à une grosse différence près : on remplace les suites par des suites généralisées : X est quasi-compact si et seulement si, dans X, toute suite généralisée a au moins une valeur d'adhérence.
De même que la compacité, la compacité dénombrable est préservée par sous-espaces fermés et continues.
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