En mathématiques, un espace dénombrablement compact est un espace topologique dont tout recouvrement par une famille dénombrable d'ouverts possède un sous-recouvrement fini. La notion de compacité dénombrable entretient des rapports étroits avec celles de quasi-compacité et compacité et celle de compacité séquentielle. Pour un espace métrisable, ces quatre notions sont équivalentes.
Soit X un espace topologique (non supposé séparé). Si l'une des trois propriétés suivantes est vérifiée alors toutes trois le sont et X est dit dénombrablement compact :
tout recouvrement dénombrable de X par des ouverts possède un sous-recouvrement fini (ou encore : l'intersection de toute suite décroissante de fermés non vides est non vide) ;
dans X, toute suite a au moins une valeur d'adhérence ;
toute partie infinie a un point d'accumulation.
Cet énoncé fait appel à deux définitions auxiliaires : un point x de X est :
valeur d'adhérence d'une suite u si, pour tout voisinage V de x, il existe une infinité d'indices n tels que le terme u appartienne à V, autrement dit si x appartient à l'intersection de la suite décroissante de fermés non vides ;
point d'accumulation d'une partie Y de X si tout voisinage de x contient une infinité de points de Y.
Un espace X est dit :
quasi-compact si tout recouvrement de X par des ouverts possède un sous-recouvrement fini (compact s'il est quasi-compact et séparé) ;
de Lindelöf si tout recouvrement de X par des ouverts possède un sous-recouvrement dénombrable.
On a donc trivialement, avec la première des trois définitions équivalentes ci-dessus :
Quant à la deuxième des trois définitions ci-dessus, elle ressemble beaucoup à la caractérisation suivante de la quasi-compacité, à une grosse différence près : on remplace les suites par des suites généralisées : X est quasi-compact si et seulement si, dans X, toute suite généralisée a au moins une valeur d'adhérence.
De même que la compacité, la compacité dénombrable est préservée par sous-espaces fermés et continues.
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En mathématiques, le premier ordinal non dénombrable, noté ω1 ou parfois Ω, est le plus petit ordinal non dénombrable ; c'est aussi l'ensemble des ordinaux finis ou infinis dénombrables. En d'autres termes, c'est l'ordinal de Hartogs de tout ensemble infini dénombrable. ω1 est le supremum de tous les ordinaux au plus dénombrables ; ce sont ses éléments. Comme tout ordinal (dans l'approche de von Neumann), ω1 est un ensemble bien ordonné, la relation d'ordre étant la relation d'appartenance : ∈.
En mathématiques, un espace dénombrablement compact est un espace topologique dont tout recouvrement par une famille dénombrable d'ouverts possède un sous-recouvrement fini. La notion de compacité dénombrable entretient des rapports étroits avec celles de quasi-compacité et compacité et celle de compacité séquentielle. Pour un espace métrisable, ces quatre notions sont équivalentes. Soit X un espace topologique (non supposé séparé).
En mathématiques, un espace séquentiellement compact est un espace topologique dans lequel toute suite possède au moins une sous-suite convergente. La notion de compacité séquentielle entretient des rapports étroits avec celles de quasi-compacité et compacité et celle de compacité dénombrable. Pour un espace métrique (notamment pour un espace vectoriel normé), ces quatre notions sont équivalentes. Intuitivement, un ensemble compact est « petit » et « fermé », au sens où l'on ne peut « s'en échapper ».
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