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Concept
Difféomorphisme
Résumé
En mathématiques, un difféomorphisme est un isomorphisme dans la catégorie usuelle des variétés différentielles : c'est une bijection différentiable d'une variété dans une autre, dont la bijection réciproque est aussi différentiable.
vignette|Image d'une grille à maille carrée par un difféomorphisme du carré dans lui-même.
Difféomorphisme entre ouverts de ℝn
Soient :
- E et F deux espaces vectoriels normés réels de dimension finie ;
- U un ouvert de E, V un ouvert de F ;
- f une application de U dans V. On dit que f est un difféomorphisme si les trois propriétés suivantes sont vérifiées :
f est bijective ;
f est différentiable sur U ;
sa réciproque est différentiable sur V.
S'il existe un tel f (avec U et V non vides), alors E et F sont isomorphes, donc de même dimension. On peut remarquer que les hypothèses sont légèrement redondantes. En effet, d'après le théorème de l'invariance du domaine, si U est un ouvert non vide de ℝn et f : U → ℝm une injection continue, eSource officielle
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