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Concept
Difféomorphisme
Résumé
En mathématiques, un difféomorphisme est un isomorphisme dans la catégorie usuelle des variétés différentielles : c'est une bijection différentiable d'une variété dans une autre, dont la bijection réciproque est aussi différentiable.
vignette|Image d'une grille à maille carrée par un difféomorphisme du carré dans lui-même.
Soient :
E et F deux espaces vectoriels normés réels de dimension finie ;
U un ouvert de E, V un ouvert de F ;
f une application de U dans V.
On dit que f est un difféomorphisme si les trois propriétés suivantes sont vérifiées :
f est bijective ;
f est différentiable sur U ;
sa réciproque est différentiable sur V.
S'il existe un tel f (avec U et V non vides), alors E et F sont isomorphes, donc de même dimension.
On peut remarquer que les hypothèses sont légèrement redondantes. En effet, d'après le théorème de l'invariance du domaine, si U est un ouvert non vide de Rn et f : U → Rm une injection continue, et si m ≤ n, alors m = n, f(U) est ouvert, et f est un homéomorphisme entre U et f(U).
Pour 1 ≤ k ≤ ∞, un Ck-difféomorphisme est une fonction de classe Ck, bijective, et dont la réciproque est également de classe Ck.
Variété différentielle#Applications différentiablesApplication différentiable d'une variété dans une autre
De même qu'entre ouverts de Rn,
un difféomorphisme entre deux variétés est une bijection bi-différentiable,
un Ck-difféomorphisme est un difféomorphisme qui est de classe Ck ainsi que son inverse,
deux variétés difféomorphes ont nécessairement même dimension.
Un est une application f : M → N d'une variété dans une autre telle que pour tout point m de M, il existe un voisinage ouvert U de m dans M tel que f(U) soit ouvert dans N et que la restriction de f, de U sur f(U), soit un difféomorphisme.
Si f : M → N est un difféomorphisme local alors, pour tout point m de M, l'application linéaire Tmf : TmM → Tf(m)N (différentielle de f au point m) est un isomorphisme (ceci implique que M et N ont même dimension, et revient alors, en coordonnées locales, à dire que le jacobien de f en m est non nul, ou encore, que les parties linéaires des approximations affines des différentes composantes de f sont linéairement indépendantes).
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