Racine carrée de trois

La racine carrée de trois, notée ou 3, est, en mathématiques, le nombre réel positif dont le carré est 3 exactement. Elle vaut approximativement et une bonne approximation fractionnaire en est 97/56 (à 10 près). On l’appelle parfois constante de Théodore ,Théodore de Cyrène ayant démontré son irrationalité. le nombre 3 ayant deux racines carrées réelles, devrait se prononcer racine carrée positive de 3, mais on le prononce simplement racine carrée de 3, voire racine de 3 pour simplifier. Il se prononçait aussi « radical de trois ». se note également 3 : Trois puissance un demi (notation Unicode : 31⁄2). Dans les langages informatiques, il s'écrit en général sqrt(3). ses décimales forment la . On conjecture que est un nombre normal, à savoir que toute suite finie de décimales consécutives (ou séquence) apparaît avec la même fréquence limite que n'importe laquelle des séquences de même longueur. vignette|350x350px|Construction de la suite ; les termes d'indice pair croissent vers , ceux d'indice impair décroissent vers . Le développement en fraction continue simple de est . Comme pour tout irrationnel quadratique (solution d'une équation de degré 2 à coefficients entiers), ce développement est périodique. La période est de longueur 2. Les premières réduites sont (cette dernière réduite étant la bonne approximation mentionnée ci-dessus). Elles forment la suite définie par . On a : , et pour , où est l'entier le plus proche de . Archimède connaissait l'encadrement . Les numérateurs forment la et les dénominateurs la . vignette|800x800px|Représentation de la suite des réduites de √3.|centré La suite de Héron convergeant vers est définie par . Elle prend la valeur dès le terme d'indice 2. Les numérateurs forment la , et les dénominateurs la . Elle est une sous-suite de : , décroissant rapidement vers (convergence quadratique). Une suite croissante associée est , d'où l'encadrement: . Pour , cet encadrement permet déjà d'obtenir . voir à Coefficient binomial central, Série génératrice. voir à Radical_imbriqué#Racine_carrée, car .