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Concept
Racine carrée de trois
Résumé
La racine carrée de trois, notée ou 3, est, en mathématiques, le nombre réel positif dont le carré est 3 exactement.
Elle vaut approximativement et une bonne approximation fractionnaire en est 97/56 (à 10 près).
On l’appelle parfois constante de Théodore ,Théodore de Cyrène ayant démontré son irrationalité.
le nombre 3 ayant deux racines carrées réelles, devrait se prononcer racine carrée positive de 3, mais on le prononce simplement racine carrée de 3, voire racine de 3 pour simplifier. Il se prononçait aussi « radical de trois ».
se note également 3 : Trois puissance un demi (notation Unicode : 31⁄2).
Dans les langages informatiques, il s'écrit en général sqrt(3).
ses décimales forment la .
On conjecture que est un nombre normal, à savoir que toute suite finie de décimales consécutives (ou séquence) apparaît avec la même fréquence limite que n'importe laquelle des séquences de même longueur.
vignette|350x350px|Construction de la suite ; les termes d'indice pair croissent vers , ceux d'indice impair décroissent vers .
Le développement en fraction continue simple de est .
Comme pour tout irrationnel quadratique (solution d'une équation de degré 2 à coefficients entiers), ce développement est périodique. La période est de longueur 2.
Les premières réduites sont (cette dernière réduite étant la bonne approximation mentionnée ci-dessus).
Elles forment la suite définie par .
On a : , et pour , où est l'entier le plus proche de .
Archimède connaissait l'encadrement .
Les numérateurs forment la et les dénominateurs la .
vignette|800x800px|Représentation de la suite des réduites de √3.|centré
La suite de Héron convergeant vers est définie par . Elle prend la valeur dès le terme d'indice 2.
Les numérateurs forment la , et les dénominateurs la .
Elle est une sous-suite de : , décroissant rapidement vers (convergence quadratique). Une suite croissante associée est , d'où l'encadrement: . Pour , cet encadrement permet déjà d'obtenir .
voir à Coefficient binomial central, Série génératrice.
voir à Radical_imbriqué#Racine_carrée,
car .
Source officielle
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