Finitely generated moduleIn mathematics, a finitely generated module is a module that has a finite generating set. A finitely generated module over a ring R may also be called a finite R-module, finite over R, or a module of finite type. Related concepts include finitely cogenerated modules, finitely presented modules, finitely related modules and coherent modules all of which are defined below. Over a Noetherian ring the concepts of finitely generated, finitely presented and coherent modules coincide.
Decomposition of a moduleIn abstract algebra, a decomposition of a module is a way to write a module as a direct sum of modules. A type of a decomposition is often used to define or characterize modules: for example, a semisimple module is a module that has a decomposition into simple modules. Given a ring, the types of decomposition of modules over the ring can also be used to define or characterize the ring: a ring is semisimple if and only if every module over it is a semisimple module.
Partie génératrice d'un groupeEn théorie des groupes, une partie génératrice d'un groupe est une partie A de ce groupe telle que tout élément du groupe s'écrit comme produit d'un nombre fini d'éléments de A et de leurs inverses. Un groupe est dit de type fini lorsqu'il admet une partie génératrice finie. Un groupe engendré par un seul élément est isomorphe soit au groupe additif des entiers relatifs (Z, +), soit à un groupe additif de classes modulo n (Z/nZ, +) ; on dit que c'est un groupe monogène.
Automorphism groupIn mathematics, the automorphism group of an object X is the group consisting of automorphisms of X under composition of morphisms. For example, if X is a finite-dimensional vector space, then the automorphism group of X is the group of invertible linear transformations from X to itself (the general linear group of X). If instead X is a group, then its automorphism group is the group consisting of all group automorphisms of X. Especially in geometric contexts, an automorphism group is also called a symmetry group.
Groupe orthogonalEn mathématiques, le groupe orthogonal réel de degré n, noté O(n), est le groupe des transformations géométriques d'un espace Euclidien de dimension n qui préservent les distances (isométries) et le point origine de l'espace. Formellement, on introduit le groupe orthogonal d'une forme quadratique q sur E, espace vectoriel sur un corps commutatif K, comme le sous-groupe du groupe linéaire GL(E) constitué des automorphismes f de E qui laissent q invariante : pour tout vecteur x de E.
Zero object (algebra)In algebra, the zero object of a given algebraic structure is, in the sense explained below, the simplest object of such structure. As a set it is a singleton, and as a magma has a trivial structure, which is also an abelian group. The aforementioned abelian group structure is usually identified as addition, and the only element is called zero, so the object itself is typically denoted as {0}. One often refers to the trivial object (of a specified ) since every trivial object is isomorphic to any other (under a unique isomorphism).
Nombres premiers jumeauxEn mathématiques, deux nombres premiers jumeaux sont deux nombres premiers qui ne diffèrent que de 2. Hormis pour le couple (2, 3), cet écart entre nombres premiers de 2 est le plus petit possible. Les plus petits nombres premiers jumeaux sont 3 et 5, 5 et 7, 11 et 13. En , les plus grands nombres premiers jumeaux connus, découverts en 2016 dans le cadre du projet de calcul distribué PrimeGrid, sont × 2 ± 1 ; ils possèdent chiffres en écriture décimale.
Nombre premiervignette|Nombres naturels de zéro à cent. Les nombres premiers sont marqués en rouge. vignette|Le nombre 7 est premier car il admet exactement deux diviseurs positifs distincts. Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs distincts entiers et positifs. Ces deux diviseurs sont 1 et le nombre considéré, puisque tout nombre a pour diviseurs 1 et lui-même (comme le montre l’égalité n = 1 × n), les nombres premiers étant ceux qui ne possèdent pas d'autre diviseur.
D-moduleEn mathématiques, un D-module est un module sur un anneau D d'opérateurs différentiels. L'intérêt principal des D-modules réside en son utilisation dans l'étude d'équations aux dérivées partielles. La théorie générale des D-modules nécessite une variété algébrique lisse X définie sur un corps K algébriquement clos de caractéristique nulle, par exemple K = C. Le faisceau des opérateurs différentiels DX est défini comme la OX-algèbre générée par les champs de vecteurs sur X, interprétés comme des dérivations.
G-moduleIn mathematics, given a group G, a G-module is an abelian group M on which G acts compatibly with the abelian group structure on M. This widely applicable notion generalizes that of a representation of G. Group (co)homology provides an important set of tools for studying general G-modules. The term G-module is also used for the more general notion of an R-module on which G acts linearly (i.e. as a group of R-module automorphisms). Let be a group.
