Algèbre à divisionEn mathématiques, et plus précisément en algèbre, une algèbre à division est une algèbre sur un corps avec la possibilité de diviser par un élément non nul (à droite et à gauche). Toutefois, dans une algèbre à division, la multiplication peut ne pas être commutative, ni même associative. Un anneau à division ou corps gauche, comme celui-des quaternions, est une algèbre associative à division sur son centre, ou sur un sous-corps de celui-ci. Soit A un anneau unitaire. L'élément 0 n'est pas inversible, sauf si A est nul.
Algèbre associativevignette|Relations entre certaines structures algébriques. En mathématiques, une algèbre associative (sur un anneau commutatif A) est une des structures algébriques utilisées en algèbre générale. C'est un anneau (ou simplement un pseudo-anneau) B muni d'une structure supplémentaire de module sur A et tel que la loi de multiplication de l'anneau B soit A-bilinéaire. C'est donc un cas particulier d'algèbre sur un anneau. Soit A un anneau commutatif. On dit que (B , + , . , × ) est une A-algèbre associative lorsque : (B , + , .
Non-associative algebraA non-associative algebra (or distributive algebra) is an algebra over a field where the binary multiplication operation is not assumed to be associative. That is, an algebraic structure A is a non-associative algebra over a field K if it is a vector space over K and is equipped with a K-bilinear binary multiplication operation A × A → A which may or may not be associative. Examples include Lie algebras, Jordan algebras, the octonions, and three-dimensional Euclidean space equipped with the cross product operation.
Algèbre sur un corpsEn mathématiques, et plus précisément en algèbre générale, une algèbre sur un corps commutatif K, ou simplement une K-algèbre, est une structure algébrique (A, +, ·, ×) telle que : (A, +, ·) est un espace vectoriel sur K ; la loi × est définie de A × A dans A (loi de composition interne) ; la loi × est bilinéaire.
Groupe finivignette|Un exemple de groupe fini est le groupe des transformations laissant invariant un flocon de neige (par exemple la symétrie par rapport à l'axe horizontal). En mathématiques, un groupe fini est un groupe constitué d'un nombre fini d'éléments. Soit G un groupe. On note en général sa loi multiplicativement et on désigne alors son élément neutre par 1. Toutefois, si G est abélien, la loi est souvent notée additivement et son élément neutre est alors désigné par 0 ; ce n'est cependant pas une règle générale : par exemple, le groupe multiplicatif d'un corps commutatif est noté multiplicativement, bien qu'il soit abélien.
IsomorphismeEn mathématiques, un isomorphisme entre deux ensembles structurés est une application bijective qui préserve la structure, et dont la réciproque préserve aussi la structure. Plus généralement, en théorie des catégories, un isomorphisme entre deux objets est un morphisme admettant un « morphisme inverse ». Par exemple, sur l'intervalle des valeurs ... peuvent être remplacées par leur logarithme ..., et les relations d'ordre entre elles seront conservées. On peut à tout moment retrouver les valeurs et en prenant les exponentielles de et .
Algèbre de quaternionsEn mathématiques, une algèbre de quaternions sur un corps commutatif K est une K-algèbre de dimension 4 qui généralise à la fois le corps des quaternions de Hamilton et l'algèbre des matrices carrées d'ordre 2. Pour être plus précis, ce sont les algèbres centrales simples sur K de degré 2. Dans cet article, on note K un corps commutatif (de caractéristique quelconque). On appelle algèbre de quaternions sur K toute algèbre (unitaire et associative) A de dimension 4 sur K qui est simple (c'est-à-dire que A et {0} sont les seuls idéaux bilatères) et dont le centre est K.
Théorème de Frobenius généraliséEn mathématiques, diverses versions de théorèmes de Frobenius généralisés ont étendu progressivement le théorème de Frobenius de 1877. Ce sont des théorèmes d'algèbre générale qui classifient les algèbres unifères à division de dimension finie sur le corps commutatif R des réels. Moyennant certaines restrictions, il n'y en a que quatre : R lui-même, C (complexes), H (quaternions) et O (octonions). Toutes les algèbres sont ici implicitement supposées unifères, et leur unicité s'entend à isomorphisme près.
Théorème de Frobenius (algèbre)En mathématiques, plus spécifiquement en algèbre, le théorème de Frobenius, démontré par Ferdinand Georg Frobenius en 1877, caractérise les algèbres associatives à division de dimension finie sur le corps commutatif R des réels. Il n'y en a que trois (à isomorphisme près) : le corps R des réels, celui C des complexes et le corps non commutatif H des quaternions. Le théorème de Frobenius généralisé de Hurwitz établit que si l'on enlève les contraintes d'associativité et de finitude mais qu'on rajoute celle d'être une algèbre de composition, on ne trouve qu'une quatrième R-algèbre à division : celle des octonions.
Algèbre de JordanEn algèbre générale, une algèbre de Jordan est une algèbre sur un corps commutatif, dans laquelle l'opération de multiplication interne, a deux propriétés : elle est commutative, c’est-à-dire que elle vérifie l'identité suivante, dite identité de Jordan : . Une algèbre de Jordan n'est donc pas associative en général ; elle vérifie toutefois une propriété d’associativité faible, car elle est à puissances associatives et satisfait d’office à une généralisation de l'identité de Jordan : en notant simplement le produit de m termes , on a, pour tous les entiers positifs m et n, .
