Sous-groupeUn sous-groupe est un objet mathématique décrit par la théorie des groupes. Dans cet article, (G, ∗) désigne un groupe d'élément neutre e. Dans la pratique, on note la loi interne du sous-groupe avec le même symbole que celui de la loi interne du groupe, c'est-à-dire ∗. Si G est un groupe alors {e} (le groupe réduit à l'élément neutre) et G sont toujours des sous-groupes de G. Ce sont les sous-groupes triviaux de G. On les appelle également les sous-groupes impropres de G.
Sous-groupe normalEn théorie des groupes, un sous-groupe normal (également appelé sous-groupe distingué ou sous-groupe invariantLien web|langue=fr|titre=Introduction à la théorie des groupes et de leurs représentations|auteur=Jean-Bernard Zuber|url=) H d'un groupe G est un sous-groupe globalement stable par l'action de G sur lui-même par conjugaison. Les sous-groupes normaux interviennent naturellement dans la définition du quotient d'un groupe. Les sous-groupes normaux de G sont exactement les noyaux des morphismes définis sur G.
Treillis des sous-groupesthumb|Diagramme de Hasse du treillis des sous-groupes du groupe diédral D. En mathématique, le treillis des sous-groupes d'un groupe G est le treillis constitué des sous-groupes de G, muni de l'inclusion comme relation d'ordre partielle. La borne supérieure de deux sous-groupes a et b est le sous-groupe engendré par l'union de a et b et leur borne inférieure est leur intersection. Le groupe diédral D des huit isométries du carré contient dix sous-groupes, y compris D lui-même et son sous-groupe trivial.
Action de groupe (mathématiques)En mathématiques, une action d'un groupe sur un ensemble est une loi de composition externe du groupe sur l'ensemble, vérifiant des conditions supplémentaires. Plus précisément, c'est la donnée, pour chaque élément du groupe, d'une permutation de l'ensemble, de telle manière que toutes ces bijections se composent de façon compatible avec la loi du groupe. Étant donné un ensemble E et un groupe G, dont la loi est notée multiplicativement et dont l'élément neutre est noté e, une action (ou opération) de G sur E est une application : vérifiant chacune des 2 propriétés suivantes : On dit également que G opère (ou agit) sur l'ensemble E.
Groupe réductifEn mathématiques, un groupe réductif est un groupe algébrique G sur un corps algébriquement clos tel que le radical unipotent de G (c'est-à-dire le sous-groupe des éléments unipotents de ) soit trivial. Tout est réductif, de même que tout tore algébrique et tout groupe général linéaire. Plus généralement, sur un corps k non nécessairement algébriquement clos, un groupe réductif est un groupe algébrique affine lisse G tel que le radical unipotent de G sur la clôture algébrique de k soit trivial.
Sous-groupe caractéristiqueDans un groupe G, un sous-groupe H est dit caractéristique lorsqu'il est stable par tout automorphisme de G : strictement caractéristique lorsqu'il est même stable par tout endomorphisme surjectif de G ; pleinement caractéristique, ou encore pleinement invariant, lorsqu'il est même stable par tout endomorphisme de G : Un sous-groupe H de G est sous-groupe caractéristique de G si et seulement si Un sous-groupe caractéristique de G est en particulier stable par tout automorphisme intérieur de G : c'est donc un
Groupe (mathématiques)vignette|Les manipulations possibles du Rubik's Cube forment un groupe. En mathématiques, un groupe est une des structures algébriques fondamentales de l'algèbre générale. C'est un ensemble muni d'une loi de composition interne associative admettant un élément neutre et, pour chaque élément de l'ensemble, un élément symétrique. La structure de groupe est commune à de nombreux ensembles de nombres — par exemple les nombres entiers relatifs, munis de la loi d'addition.
Groupe diédralEn mathématiques, le groupe diédral d'ordre 2n, pour un nombre naturel non nul n, est un groupe qui s'interprète notamment comme le groupe des isométries du plan conservant un polygone régulier à n côtés. Le groupe est constitué de n éléments correspondant aux rotations et n autres correspondant aux réflexions. Il est noté Dn par certains auteurs et D par d'autres. On utilisera ici la notation D. Le groupe D est le groupe cyclique d'ordre 2, noté C ; le groupe D est le groupe de Klein à quatre éléments.
Théorie des groupesvignette|Le Rubik's cube illustre la notion de groupes de permutations. Voir groupe du Rubik's Cube. La théorie des groupes est en mathématique, plus précisément en algèbre générale, la discipline qui étudie les structures algébriques appelées groupes. Le développement de la théorie des groupes est issu de la théorie des nombres, de la théorie des équations algébriques et de la géométrie. La théorie des groupes est étroitement liée à la théorie des représentations.
Maximal subgroupIn mathematics, the term maximal subgroup is used to mean slightly different things in different areas of algebra. In group theory, a maximal subgroup H of a group G is a proper subgroup, such that no proper subgroup K contains H strictly. In other words, H is a maximal element of the partially ordered set of subgroups of G that are not equal to G. Maximal subgroups are of interest because of their direct connection with primitive permutation representations of G.
