Catégorie de modèlesEn mathématiques, plus précisément en théorie de l'homotopie, une catégorie de modèles est une catégorie dotée de trois classes de morphismes, appelés équivalences faibles, fibrations et cofibrations, satisfaisant à certains axiomes. Ceux-ci sont abstraits du comportement homotopique des espaces topologiques et des complexes de chaînes. La théorie des catégories de modèles est une sous-branche de la théorie des catégories et a été introduite par Daniel Quillen en 1967 pour généraliser l'étude de l'homotopie aux catégories et ainsi avoir de nouveaux outils pour travailler avec l'homotopie dans les espaces topologiques.
Homologie (mathématiques)En mathématiques, l'homologie est une manière générale d'associer une séquence d'objets algébriques tels que des groupes abéliens ou des modules à d'autres objets mathématiques tels que des espaces topologiques. Les groupes d'homologie ont été définis à l'origine dans la topologie algébrique. Des constructions similaires sont disponibles dans beaucoup d'autres contextes, tels que l'algèbre abstraite, les groupes, les algèbres de Lie, la théorie de Galois et la géométrie algébrique.
Catégorie monoïdaleEn mathématiques, une catégorie monoïdale est une catégorie munie d'un bifoncteur qui généralise la notion de produit tensoriel de deux structures algébriques. Intuitivement, il s'agit de l'analogue, au niveau des catégories, de la notion de monoïde, c'est-à-dire que le bifoncteur joue le rôle d'une sorte de multiplication pour les objets de la catégorie. Une catégorie monoïdale est une catégorie munie : D'un bifoncteur appelé produit tensoriel. D'un objet I appartenant à appelé « objet unité ».
K-théorieEn mathématiques, la K-théorie est un outil utilisé dans plusieurs disciplines. En topologie algébrique, la sert de théorie de cohomologie. Une variante est utilisée en algèbre sous le nom de K-théorie algébrique. Les premiers résultats de la K-théorie ont été dans le cadre de la topologie algébrique, comme une théorie de cohomologie extraordinaire (elle ne vérifie pas l'axiome de dimension). Par la suite, ces méthodes ont été utilisées dans beaucoup d'autres domaines comme la géométrie algébrique, l'algèbre, la théorie des nombres, la théorie des opérateurs, etc.
K-théorie algébriqueEn mathématiques, la K-théorie algébrique est une branche importante de l'algèbre homologique. Son objet est de définir et d'appliquer une suite de foncteurs K de la catégorie des anneaux dans celle des groupes abéliens. Pour des raisons historiques, K et K sont conçus en des termes un peu différents des K pour n ≥ 2. Ces deux K-groupes sont en effet plus accessibles et ont plus d'applications que ceux d'indices supérieurs. La théorie de ces derniers est bien plus profonde et ils sont beaucoup plus difficiles à calculer, ne serait-ce que pour l'anneau des entiers.
Connexité simpleEn topologie générale et en topologie algébrique, la notion de simple connexité raffine celle de connexe par arcs. Dans un espace connexe par arcs, deux points quelconques peuvent toujours être reliés par un chemin. Dans un espace simplement connexe, cela est toujours possible d'une et une seule façon, l'unicité étant à comprendre au sens de « à déformation (isotopie) près ». Intuitivement, là où un espace connexe est simplement « d'un seul tenant », un espace simplement connexe est de plus sans « trou » ni « poignée ».
Ensemble simplicialEn mathématiques, un ensemble simplicial X est un objet de nature combinatoire intervenant en topologie. Il est la donnée : d'une famille (X) d'ensembles, indexée par les entiers naturels, les éléments de X étant pensés comme des simplexes de dimension n et pour toute application croissanted'une application le tout tel que Autrement dit : X est un foncteur contravariant, de la catégorie simpliciale Δ dans la catégorie Set des ensembles, ou encore un foncteur covariant de la catégorie opposée Δ dans Set.
Connexité (mathématiques)La connexité est une notion de topologie qui formalise le concept d'« objet d'un seul tenant ». Un objet est dit connexe s'il est fait d'un seul « morceau ». Dans le cas contraire, chacun des morceaux est une composante connexe de l'objet étudié. Soit un espace topologique E. Les quatre propositions suivantes sont équivalentes : E n'est pas la réunion de deux ouverts non vides disjoints ; E n'est pas la réunion de deux fermés non vides disjoints ; les seuls ouverts-fermés de E sont ∅ et E ; toute application continue de E dans un ensemble à deux éléments muni de la topologie discrète est constante.
Complexe simplicialthumb|Exemple d'un complexe simplicial.En mathématiques, un complexe simplicial est un objet géométrique déterminé par une donnée combinatoire et permettant de décrire certains espaces topologiques en généralisant la notion de triangulation d'une surface. Un tel objet se présente comme un graphe avec des sommets reliés par des arêtes, sur lesquelles peuvent se rattacher des faces triangulaires, elles-mêmes bordant éventuellement des faces de dimension supérieure, etc.
Espace localement connexeEn mathématiques, plus précisément en topologie, un espace localement connexe est un espace topologique pouvant être décrit à l’aide de ses ouverts connexes. En topologie, on dit qu’un espace est connexe lorsqu’il est fait « d’une seule pièce ». La question naturelle qui suit est de savoir si tout espace topologique peut être décrit comme la réunion disjointe (dans la catégorie des espaces topologiques) de ses composantes connexes ; en d’autres termes, peut-on considérer que lorsqu’on connait toutes les « pièces » d’un espace topologique, on sait tout de cet espace ? Une condition nécessaire et suffisante pour cela est que toutes les composantes connexes soient ouvertes.
