Nombre premiervignette|Nombres naturels de zéro à cent. Les nombres premiers sont marqués en rouge. vignette|Le nombre 7 est premier car il admet exactement deux diviseurs positifs distincts. Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs distincts entiers et positifs. Ces deux diviseurs sont 1 et le nombre considéré, puisque tout nombre a pour diviseurs 1 et lui-même (comme le montre l’égalité n = 1 × n), les nombres premiers étant ceux qui ne possèdent pas d'autre diviseur.
Torsion-free moduleIn algebra, a torsion-free module is a module over a ring such that zero is the only element annihilated by a regular element (non zero-divisor) of the ring. In other words, a module is torsion free if its torsion submodule is reduced to its zero element. In integral domains the regular elements of the ring are its nonzero elements, so in this case a torsion-free module is one such that zero is the only element annihilated by some non-zero element of the ring.
Variété rationnelleEn géométrie algébrique, une variété rationnelle est une variété algébrique (intègre) V sur un corps K qui est birationnelle à un espace projectif sur K, c'est-à-dire qu'un certain ouvert dense de V est isomorphe à un ouvert d'un espace projectif. De façon équivalente, cela signifie que son corps de fonctions est isomorphe au corps des fractions rationnelles à d indéterminées K(U, ... , U), l'entier d étant alors égal à la dimension de la variété. Soit V une variété algébrique affine de dimension d définie par un idéal premier ⟨f, .
Théorie des corps de classesvignette|Les racines cinquièmes de l'unité dans le plan complexe. Ajouter ces racines aux nombres rationnels génère une extension abélienne. En mathématiques, la théorie des corps de classes est une branche majeure de la théorie algébrique des nombres qui a pour objet la classification des extensions abéliennes, c'est-à-dire galoisiennes et de groupe de Galois commutatif, d'un corps commutatif donné. Plus précisément, il s'agit de décrire et de construire ces extensions en termes de propriétés arithmétiques du corps de base lui-même.
Théorème des nombres premiersvignette|Une illustration du théorème des nombres premiers : en rouge, le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à x ; en vert, une approximation utilisant ; en bleu, une approximation utilisant l'intégrale logarithmique . En mathématiques, et plus précisément en théorie analytique des nombres, le théorème des nombres premiers, démontré indépendamment par Hadamard et La Vallée Poussin en 1896, est un résultat concernant la distribution asymptotique des nombres premiers.
Majorant ou minorantEn mathématiques, soient (E , ≤) un ensemble ordonné et F une partie de E ; un élément x de E est : un majorant de F s'il est supérieur ou égal, par la relation binaire définie au préalable, à tous les éléments de F : ; un minorant de F s'il est inférieur ou égal, par la relation binaire définie au préalable, à tous les éléments de F :. Si F possède un majorant x alors on dit que F est une partie majorée. Si F possède un minorant x alors on dit que F est une partie minorée.
Groupe de Galois absoluEn mathématiques, le groupe de Galois absolu d'un corps commutatif K est le groupe de Galois d'une clôture séparable (extension algébrique séparable maximale, nécessairement normale donc galoisienne) Ksep du corps K. Dans le cas d'un corps parfait (et donc en particulier en caractéristique nulle), une clôture séparable coïncide avec une clôture algébrique. La compréhension du groupe de Galois absolu du corps des nombres rationnels est un problème important en théorie algébrique des nombres.
Théorème fondamental de la théorie de GaloisEn mathématiques et plus précisément en algèbre commutative, le théorème fondamental de la théorie de Galois établit une correspondance entre les extensions intermédiaires d'une extension finie de corps et leurs groupes de Galois, dès lors que l'extension est galoisienne, c’est-à-dire séparable et normale. Soient L une extension galoisienne finie de K et G son groupe de Galois. Pour tout sous-groupe H de G, on note LH le sous-corps de L constitué des éléments fixés par chaque élément de H.
Vecteur de WittLes vecteurs de Witt sont des objets mathématiques, généralement décrits comme des suites infinies de nombres (ou plus généralement d'éléments d'un anneau). Ils ont été introduits par Ernst Witt en 1936, afin de décrire les extensions non ramifiées des corps de nombres p-adiques. Ces vecteurs sont dotés d'une structure d'anneau ; on parle donc de l’anneau des vecteurs de Witt. Ils apparaissent aujourd'hui dans plusieurs branches de la géométrie algébrique et arithmétique, en théorie des groupes et en physique théorique.
Groupe algébriqueEn géométrie algébrique, la notion de groupe algébrique est un équivalent des groupes de Lie en géométrie différentielle ou complexe. Un groupe algébrique est une variété algébrique munie d'une loi de groupe compatible avec sa structure de variété algébrique. Un groupe algébrique sur un corps (commutatif) K est une variété algébrique sur munie : d'un morphisme de K-variétés algébriques (appelé aussi multiplication) .
