IsomorphismeEn mathématiques, un isomorphisme entre deux ensembles structurés est une application bijective qui préserve la structure, et dont la réciproque préserve aussi la structure. Plus généralement, en théorie des catégories, un isomorphisme entre deux objets est un morphisme admettant un « morphisme inverse ». Par exemple, sur l'intervalle des valeurs ... peuvent être remplacées par leur logarithme ..., et les relations d'ordre entre elles seront conservées. On peut à tout moment retrouver les valeurs et en prenant les exponentielles de et .
Catégorie des ensemblesEn mathématiques, plus précisément en théorie des catégories, la catégorie des ensembles, notée Set ou Ens, est la catégorie dont les objets sont les ensembles, et dont les morphismes sont les applications d'un ensemble dans un autre. Sa définition est motivée par le fait qu'en théorie des ensembles usuelle, il n'existe pas d'« ensemble de tous les ensembles », car l'existence d'un tel objet résulterait en une contradiction logique : le paradoxe de Russell.
Produit directLa plupart des structures algébriques permettent de construire de façon très simple une structure produit sur le produit cartésien des ensembles sous-jacents. Plus généralement, . C'est le cas de la topologie produit dans la catégorie des espaces topologiques. Soient E un ensemble muni d'une loi de composition interne et F un ensemble muni d'une loi de composition interne . On peut définir une loi de composition interne sur le produit cartésien E×F de la façon suivante : Si et sont associatives, alors la loi est associative.
MorphismeEn mathématiques, le morphisme est la relative similitude d'objets mathématiques considérés du point de vue de ce qu'ils partagent comme entités ou par leurs relations. En algèbre générale, un morphisme (ou homomorphisme) est une application entre deux structures algébriques de même espèce, c'est-à-dire des ensembles munis de lois de composition interne ou externe (par exemple deux groupes ou deux espaces vectoriels), qui respectent certaines propriétés en passant d'une structure à l'autre.
MonoïdeEn mathématiques, un monoïde est une structure algébrique utilisée en algèbre générale, définie comme un ensemble muni d'une loi de composition interne associative et d'un élément neutre. Autrement dit, c'est un magma associatif et unifère, c'est-à-dire un demi-groupe unifère. Il arrive parfois qu'une structure composée d'un ensemble et d'une unique opération soit relativement pauvre en éléments inversibles, par exemple un anneau où l'on considère uniquement la multiplication. Une telle structure est appelée monoïde.
Topologievignette|Déformation continue d'une tasse avec une anse, en un tore (bouée). thumb|Un ruban de Möbius est une surface fermée dont le bord se réduit à un cercle. De tels objets sont des sujets étudiés par la topologie. La topologie est la branche des mathématiques qui étudie les propriétés d'objets géométriques préservées par déformation continue sans arrachage ni recollement, comme un élastique que l’on peut tendre sans le rompre.
Action de groupe (mathématiques)En mathématiques, une action d'un groupe sur un ensemble est une loi de composition externe du groupe sur l'ensemble, vérifiant des conditions supplémentaires. Plus précisément, c'est la donnée, pour chaque élément du groupe, d'une permutation de l'ensemble, de telle manière que toutes ces bijections se composent de façon compatible avec la loi du groupe. Étant donné un ensemble E et un groupe G, dont la loi est notée multiplicativement et dont l'élément neutre est noté e, une action (ou opération) de G sur E est une application : vérifiant chacune des 2 propriétés suivantes : On dit également que G opère (ou agit) sur l'ensemble E.
Limite (théorie des catégories)La notion de limite est une construction catégorique abstraite, qui rend compte d'objets tels que les produits, les produits fibrés et les limites projectives. La construction duale, la colimite, rend compte entre autres des coproduits, sommes amalgamées et limites inductives. Dans certains cas, cette notion coïncide avec la limite au sens de l'analyse. Soit une catégorie. On considère un diagramme dans , traduit par un foncteur . Dans de nombreux cas, on considère une petite catégorie, voire finie, et on parle respectivement de petit diagramme ou de diagramme fini.
Diagramme commutatifEn mathématiques, et plus spécialement dans les applications de la théorie des catégories, un diagramme commutatif est un diagramme d'objets et de morphismes tels que, si l'on suit à travers le diagramme un chemin d'un objet à un autre, le résultat par composition des morphismes ne dépend que de l'objet de départ et de l'objet d'arrivée. Cette définition peut être visualisée par le dessin élémentaire ci-contre. On se place dans la catégorie Ens. Les objets sont les ensembles A, B et C en réalité tous égaux ici à {1,2,3,4}.
Functor represented by a schemeIn algebraic geometry, a functor represented by a scheme X is a set-valued contravariant functor on the category of schemes such that the value of the functor at each scheme S is (up to natural bijections) the set of all morphisms . The scheme X is then said to represent the functor and that classify geometric objects over S given by F. The best known example is the Hilbert scheme of a scheme X (over some fixed base scheme), which, when it exists, represents a functor sending a scheme S to a flat family of closed subschemes of .
