vignette|Temps d'impact et temps d'arrêt de trois échantillons de mouvement brownien.
En théorie des probabilités, en particulier dans l'étude des processus stochastiques, un temps d'arrêt (également appelé temps d'arrêt optionnel, et correspondant à un temps de Markov ou moment de Markov défini) est une variable aléatoire dont la valeur est interprétée comme le moment auquel le comportement d'un processus stochastique donné présente un certain intérêt. Un temps d'arrêt est souvent défini par une règle d'arrêt, un mécanisme permettant de décider de poursuivre ou d'arrêter un processus sur la base de la position actuelle et des événements passés.
Ce temps d'arrêt peut être par exemple le moment où un processus stochastique prend fin, ou, dans un processus de Poisson et autres processus de Lévy à accroissements indépendants stationnaires, le moment d'un « saut » incrémental.
Cette notion de temps d'arrêt ne s'appuyant sur aucun évènement futur est étroitement lié à la propriété forte des processus de Markov.
Les temps d'arrêt jouent un rôle important dans la théorie de la décision, et dans les martingales, sont régis par le théorème d'arrêt de Doob (ou théorème d'arrêt optionnel).
Imaginons que désigne ici la tribu engendrée par la suite et que les variables aléatoires représentent les résultats d'un joueur lors des parties successives d'un jeu. Dans le cas de variables aléatoires à valeurs dans un espace d'états fini ou dénombrable, une partie appartient à si et seulement s'il existe tel que
Supposons que représente le numéro de la partie après laquelle le joueur décide d'arrêter de jouer : est donc un temps d'arrêt si et seulement si la décision d'arrêter est prise en fonction des résultats des parties déjà jouées au moment de l'arrêt, i.e. si pour tout il existe un sous ensemble tel que :
L'instant où le joueur s'arrête est donc un temps d'arrêt si la décision d'arrêt ne tient pas compte des résultats des parties futures, donc sous l'hypothèse que don de double-vue et tricherie sont exclus.
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Introduction à la théorie des martingales à temps discret, en particulier aux théorèmes de convergence et d'arrêt. Application aux processus de branchement. Introduction au mouvement brownien et étude
In this course, various aspects of probability theory are considered. The first part is devoted to the main theorems in the field (law of large numbers, central limit theorem, concentration inequaliti
This course gives an introduction to probability theory and stochastic calculus in discrete and continuous time. We study fundamental notions and techniques necessary for applications in finance such
Une martingale est une séquence de variables aléatoires (autrement dit un processus stochastique), telles que l'espérance mathématique à l'instant , conditionnellement à l'information disponible à un moment préalable , notée , vaut (avec ). En particulier, dans un processus discret (t entier), . Une martingale peut modéliser les gains / pertes accumulés par un joueur au cours de répétitions indépendantes d'un jeu de hasard à espérance nulle (même si le joueur s'autorise à modifier sa mise en fonction des gains passés), d'où l'emprunt du terme martingale au monde du jeu.
In mathematics specifically, in the theory of stochastic processes Doob's martingale convergence theorems are a collection of results on the limits of supermartingales, named after the American mathematician Joseph L. Doob. Informally, the martingale convergence theorem typically refers to the result that any supermartingale satisfying a certain boundedness condition must converge.
In mathematics, the theory of optimal stopping or early stopping is concerned with the problem of choosing a time to take a particular action, in order to maximise an expected reward or minimise an expected cost. Optimal stopping problems can be found in areas of statistics, economics, and mathematical finance (related to the pricing of American options). A key example of an optimal stopping problem is the secretary problem. Optimal stopping problems can often be written in the form of a Bellman equation, and are therefore often solved using dynamic programming.
Explore les temps d'arrêt dans les martingales et le mouvement brownien, en discutant des propriétés de convergence et de la forte propriété de Markov.
The subject of the present thesis is an optimal prediction problem concerning the ultimate maximum of a stable Lévy process over a finite interval of time. Such "optimal prediction" problems are of bo