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Concept
Phénomène de Runge
Résumé
droite|vignette|La courbe rouge est la fonction de Runge ; la courbe bleue est le polynôme interpolateur de degré 5 et la courbe verte est le polynôme interpolateur de degré 9. L'approximation est de plus en plus mauvaise.
Dans le domaine mathématique de l'analyse numérique, le phénomène de Runge se manifeste dans le contexte de l'interpolation polynomiale, en particulier l'interpolation de Lagrange. Avec certaines fonctions (même analytiques), l'augmentation du nombre n de points d'interpolation ne constitue pas nécessairement une bonne stratégie d'approximation.
En étudiant cette question, le mathématicien allemand Carl Runge découvrit, en 1901, un résultat contraire à l'intuition : il existe des configurations où l'écart maximal entre la fonction et son interpolation augmente indéfiniment avec n.
Considérons la fonction suivante :
On considère (n + 1) points équi-répartis dans le segment [–1, 1] :
Enfin, on considère le polynôme interpolateur de f aux points (x), c'est-à-dire l'unique polynôme P de degré inférieur ou égal à n tel que P(x) = f (x) pour tout i. On note P ce polynôme.
Runge a montré que l'erreur d'interpolation entre P et f tend vers l'infini lorsque n augmente. Autrement dit, plus on fixe de points où le polynôme a la même valeur que f, moins bien on approche la fonction. Formellement :
En fait, lorsqu'on augmente le nombre de points, on constate que le polynôme se met à osciller fortement entre les points x avec une amplitude de plus en plus grande, comme l'illustre la figure.
Le phénomène de Runge est la conséquence de deux propriétés du problème.
L'amplitude des dérivées de la fonction de Runge augmente très rapidement lorsque n augmente.
L'équi-répartition des points d'interpolation mène à une constante de Lebesgue qui augmente très rapidement lorsque n augmente.
Par applications répétées du théorème de Rolle, on peut montrer que pour le cas d'une interpolation avec n + 1 points équi-répartis, il existe un point tel que
Dans l'exemple choisi, les valeurs des dérivées successives de la fonction augmentent avec le nombre de points, ainsi les oscillations entre chaque point d'interpolation s'amplifient.
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