Concept
Plan complexe
Concepts associés (54)
Cercle unité
thumb|Cercle unité Le cercle unité est une expression courante pour désigner l'ensemble des nombres complexes de module 1. Si le module est vu comme une norme euclidienne, le cercle est une courbe de longueur 2π, et est le bord d'un disque d'aire π. Le cercle unité est l'image de l'axe des imaginaires purs iR par l'exponentielle complexe. Le cercle unité est stable par produit. C'est un sous-groupe du groupe des inversibles C* de C. Plus précisément, c'est son plus grand sous-groupe compact.
Sphère de Riemann
En mathématiques, la sphère de Riemann est une manière de prolonger le plan des nombres complexes avec un point additionnel à l'infini, de manière que certaines expressions mathématiques deviennent convergentes et élégantes, du moins dans certains contextes. Déjà envisagée par le mathématicien Carl Friedrich Gauss, elle est baptisée du nom de son élève Bernhard Riemann. Ce plan s'appelle également la droite projective complexe, dénoté .
Prolongement analytique
En analyse complexe, la théorie du prolongement analytique détaille l'ensemble des propriétés et techniques relatives au prolongement des fonctions holomorphes (ou analytiques). Elle considère d'abord la question du prolongement dans le plan complexe. Puis elle aborde des formes plus générales d'extension qui permettent de prendre en compte les singularités et les complications topologiques qui les accompagnent. La théorie fait alors intervenir soit le concept assez ancien et peu opérant de fonction multiforme, soit le concept plus puissant de surface de Riemann.
Opposé (mathématiques)
En mathématiques, lopposé d'un élément x (s'il existe) est le nom donné à l'élément symétrique, lorsque la loi est notée additivement. Dans le cas réel, il s'agit du nombre qui, ajouté par x, donne 0. On le note –x. Par exemple : l’opposé de 7 est égal à –7 car 7 + (–7) = 0 l’opposé de -0,3 est 0,3 car –0,3 + 0,3 = 0. Ainsi d’après le dernier exemple, –(–0,3) = 0,3. Plus généralement, si E est un ensemble muni d’une loi interne d’addition associative et commutative, l’opposé d’un élément x de E est le symétrique (s’il existe) de cet élément, et est noté en général –x.
Théorème des résidus
En analyse complexe, le théorème des résidus est un outil puissant pour évaluer des intégrales curvilignes de fonctions holomorphes sur des courbes fermées qui repose sur les résidus de la fonction à intégrer. Il est utilisé pour calculer des intégrales de fonctions réelles ainsi que la somme de certaines séries. Il généralise le théorème intégral de Cauchy et la formule intégrale de Cauchy. Soient U un sous-ensemble ouvert et simplement connexe du plan complexe C, {z, ...
Droite (mathématiques)
En géométrie, le mot droite désigne un objet formé de points alignés. Une droite est illimitée des deux côtés, et sans épaisseur (dans la pratique, elle est représentée, sur une feuille, par une ligne droite ayant bien entendu des limites — celles de la feuille — et une épaisseur — celle du crayon). Pour les Anciens, la droite était un concept « allant de soi », si « évident » que l'on négligeait de préciser de quoi l'on parlait. L'un des premiers à formaliser la notion de droite fut le Grec Euclide dans ses Éléments.
Division par zéro
La division par zéro consiste à chercher le résultat qu'on obtiendrait en prenant zéro comme diviseur. Ainsi, une division par zéro s'écrirait x/0, où x serait le dividende (ou numérateur). Dans les définitions usuelles de la multiplication, cette opération n'a pas de sens : elle contredit notamment la définition de la multiplication en tant que seconde loi de composition d'un corps, car zéro (l'élément neutre de l'addition) est un élément absorbant pour la multiplication. La division par zéro donne l'infini.
Conjugué
vignette|Représentation géométrique (diagramme d'Argand) de z et de son conjugué z̅ dans le plan complexe. Le conjugué est obtenu par symétrie par l'axe des réels. En mathématiques, le conjugué d'un nombre complexe z est le nombre complexe formé de la même partie réelle que z mais de partie imaginaire opposée. Le conjugué d'un nombre complexe , où a et b sont nombres réels, est noté ou . Dans le plan, le point d'affixe est le symétrique du point d'affixe par rapport à l'axe des abscisses. Le module du conjugué reste inchangé.
Fonction analytique
vignette|Tracé du module de la fonction gamma (son prolongement analytique) dans le plan complexe. En mathématiques, et plus précisément en analyse, une fonction analytique est une fonction d'une variable réelle ou complexe qui est développable en série entière au voisinage de chacun des points de son domaine de définition, c'est-à-dire que pour tout de ce domaine, il existe une suite donnant une expression de la fonction, valable pour tout assez proche de , sous la forme d'une série convergente : Toute fonction analytique est dérivable de dérivée analytique, ce qui implique que toute fonction analytique est indéfiniment dérivable, mais la réciproque est fausse en analyse réelle.
Convergence uniforme
La convergence uniforme d'une suite de fonctions est une forme de convergence plus exigeante que la convergence simple. La convergence devient uniforme quand toutes les suites avancent vers leur limite respective avec une sorte de « mouvement d'ensemble ». Dans le cas de fonctions numériques d'une variable, la notion prend une forme d'« évidence » géométrique : le graphe de la fonction f se « rapproche » de celui de la limite. Soient X un ensemble, (Y, d) un espace métrique, et A un sous-ensemble de X.