Intégrale d'Itōvignette|Tracé d'une trajectoire échantillon d'un processus de Wiener, ou mouvement brownien, B, ainsi que son intégrale d'Itô par rapport à lui-même. L'intégration par parties ou le lemme d'Itô montre que l'intégrale est égale à (B2 - t)/2. L'intégrale d'Itô, appelée en l'honneur du mathématicien Kiyoshi Itô, est un des outils fondamentaux du calcul stochastique. Elle a d'importantes applications en mathématique financière et pour la résolution des équations différentielles stochastiques.
Lemme d'ItōLe lemme d'Itō, ou formule d'Itō, est l'un des principaux résultats de la théorie du calcul stochastique, qui permet d'exprimer la différentielle d'une fonction d'un processus stochastique au cours du temps. Ce lemme offre un moyen de manipuler le mouvement brownien ou les solutions d'équations différentielles stochastiques (EDS). La formule d'Itō a été démontrée pour la première fois par le mathématicien japonais Kiyoshi Itō dans les années 1940.
Variation quadratiqueEn mathématiques, la variation quadratique est utilisée dans l'analyse des processus stochastiques, comme le mouvement brownien et autres martingales. La variation quadratique est un type de variation d'un processus. Si est un processus stochastique à valeurs réelles défini sur un espace probabilisé et avec un indice de temps qui parcourt les nombres réels positifs, sa variation quadratique est le processus, noté , défini par : où parcourt les subdivisions de l'intervalle et la norme de la subdivision est son pas.
SemimartingaleIn probability theory, a real valued stochastic process X is called a semimartingale if it can be decomposed as the sum of a local martingale and a càdlàg adapted finite-variation process. Semimartingales are "good integrators", forming the largest class of processes with respect to which the Itô integral and the Stratonovich integral can be defined. The class of semimartingales is quite large (including, for example, all continuously differentiable processes, Brownian motion and Poisson processes).
Équation différentielle stochastiqueUne équation différentielle stochastique (EDS) est une généralisation de la notion d'équation différentielle prenant en compte un terme de bruit blanc. Les EDS permettent de modéliser des trajectoires aléatoires, tels des cours de bourse ou les mouvements de particules soumises à des phénomènes de diffusion. Elles permettent aussi de traiter théoriquement ou numériquement des problèmes issus de la théorie des équations aux dérivées partielles.
Mathématiques financièresLes mathématiques financières (aussi nommées finance quantitative) sont une branche des mathématiques appliquées ayant pour but la modélisation, la quantification et la compréhension des phénomènes régissant les opérations financières d'une certaine durée (emprunts et placements / investissements) et notamment les marchés financiers. Elles font jouer le facteur temps et utilisent principalement des outils issus de l'actualisation, de la théorie des probabilités, du calcul stochastique, des statistiques et du calcul différentiel.
Processus de WienerEn mathématiques, le processus de Wiener est un processus stochastique à temps continu nommé ainsi en l'honneur de Norbert Wiener. Il permet de modéliser le mouvement brownien. C'est l'un des processus de Lévy les mieux connus. Il est souvent utilisé en mathématique appliquée, en économie et en physique. Le processus de Wiener est défini comme un mouvement brownien standard monodimensionnel, démarrant à l'origine, et à valeurs réelles.
Louis BachelierLouis Jean-Baptiste Alphonse Bachelier est un mathématicien français, précurseur de la théorie moderne des probabilités, et fondateur des mathématiques financières né le au Havre et mort le à Saint-Servan-sur-Mer. Dans sa thèse de doctorat intitulée « Théorie de la spéculation », de son directeur de thèse Henri Poincaré, soutenue le à la Sorbonne de Paris, il introduit l'utilisation en finance du mouvement brownien (découvert par le biologiste botaniste Robert Brown), qui est à la base de la plupart des modèles de prix en finance, notamment la formule de Black-Scholes (1973).
Geometric Brownian motionA geometric Brownian motion (GBM) (also known as exponential Brownian motion) is a continuous-time stochastic process in which the logarithm of the randomly varying quantity follows a Brownian motion (also called a Wiener process) with drift. It is an important example of stochastic processes satisfying a stochastic differential equation (SDE); in particular, it is used in mathematical finance to model stock prices in the Black–Scholes model.
Intégrale de StratonovichEn calcul stochastique, l'intégrale de Stratonovich (aussi intégrale de Fisk-Stratonovich) est un type d'intégrale stochastique. Contrairement à l'intégrale d'Itô, où seul le point final gauche de l'intervalle de décomposition est nécessaire pour la construction dans l'intégrale de Stratonovich, on utilise la moyenne arithmétique des extrémités gauche et droite L'avantage de l'intégrale de Stratonovich sur l'intégrale d'Itô est que la formule d'Itô n'a que des différentiels du premier ordre.
