Leibniz formula for πIn mathematics, the Leibniz formula for pi, named after Gottfried Wilhelm Leibniz, states that an alternating series. It is sometimes called the Madhava–Leibniz series as it was first discovered by the Indian mathematician Madhava of Sangamagrama or his followers in the 14th–15th century (see Madhava series), and was later independently rediscovered by James Gregory in 1671 and Leibniz in 1673.
Produit de WallisEn mathématiques, le produit de Wallis, ou formule de Wallis, est une expression de la moitié de la constante π sous la forme d'un produit infini, énoncée en 1656 par John Wallis, dans son ouvrage Arithmetica infinitorum. Ce produit peut s'écrire sous la forme : soit, de façon plus condensée : ou encore : Une formulation équivalente est : On peut démontrer cette égalité à l'aide des intégrales de Wallis.
Théorème de factorisation de WeierstrassEn mathématiques, et plus précisément en analyse, le théorème de factorisation de Weierstrass, nommé en l'honneur de Karl Weierstrass, affirme que les fonctions entières peuvent être représentées par un produit infini, appelé produit de Weierstrass, mettant en jeu leurs zéros. Du développement en série entière suivant pour u ∈ ]–1;1[ : on déduit que la fonction tronquée aux m premiers termes est sensiblement égale à 1 sur [–1 ; 1], sauf dans un voisinage de u = 1 où elle admet un zéro d'ordre 1.
Formule de Viètevignette|upright=2.5|Formule de Viète énoncée dans son Variorum de rebus mathematicis responsorum, liber VIII (1593). En mathématiques, la formule de Viète est le produit infini suivant des radicaux imbriqués représentant le nombre π : Elle est nommée d'après François Viète, qui l'a publiée en 1593 dans son Variorum de rebus mathematicis responsorum, liber VIII. À l'époque où Viète publiait sa formule, des méthodes d'approximation de π étaient connues depuis longtemps.
Produit eulérienEn mathématiques, et plus précisément en théorie analytique des nombres, un produit eulérien est un développement en produit infini, indexé par les nombres premiers. Il permet de mesurer la répartition des nombres premiers et est intimement lié à la fonction zêta de Riemann. Il est nommé en l'honneur du mathématicien suisse Leonhard Euler. Euler cherche à évaluer la répartition des nombres premiers p = 2, p = 3, ....
Fraction continue généraliséeEn mathématiques, une fraction continue généralisée est une expression de la forme : comportant un nombre fini ou infini d'étages. C'est donc une généralisation des fractions continues simples puisque dans ces dernières, tous les a sont égaux à 1. Une fraction continue généralisée est une généralisation des fractions continues où les numérateurs et dénominateurs partiels peuvent être des complexes quelconques : où an (n > 0) sont les numérateurs partiels et les bn les dénominateurs partiels.
Hypothèse de RiemannEn mathématiques, l'hypothèse de Riemann est une conjecture formulée en 1859 par le mathématicien allemand Bernhard Riemann, selon laquelle les zéros non triviaux de la fonction zêta de Riemann ont tous une partie réelle égale à 1/2. Sa démonstration améliorerait la connaissance de la répartition des nombres premiers et ouvrirait des nouveaux domaines aux mathématiques. Cette conjecture constitue l'un des problèmes non résolus les plus importants des mathématiques du début du : elle est l'un des vingt-trois fameux problèmes de Hilbert proposés en 1900, l'un des sept problèmes du prix du millénaire et l'un des dix-huit problèmes de Smale.
Prolongement analytiqueEn analyse complexe, la théorie du prolongement analytique détaille l'ensemble des propriétés et techniques relatives au prolongement des fonctions holomorphes (ou analytiques). Elle considère d'abord la question du prolongement dans le plan complexe. Puis elle aborde des formes plus générales d'extension qui permettent de prendre en compte les singularités et les complications topologiques qui les accompagnent. La théorie fait alors intervenir soit le concept assez ancien et peu opérant de fonction multiforme, soit le concept plus puissant de surface de Riemann.
Fonction zêta de Riemannvignette|upright=2|La fonction zêta de Riemann ζ(s) dans le plan complexe. La couleur d'un point s code la valeur de ζ(s) : des couleurs vives indiquent des valeurs proches de 0 et la nuance indique l'argument de la valeur. Le point blanc pour s = 1 est le pôle ; les points noirs sur l'axe réel négatif (demi-droite horizontale) et sur la droite critique Re(s) = 1/2 (droite verticale) sont les zéros. vignette|upright=2|Carte des couleurs utilisées dans la figure du dessus.
Plan complexeEn mathématiques, le plan complexe (aussi appelé plan d'Argand, plan d'Argand-Cauchy ou plan d'Argand-Gauss) désigne un plan, muni d'un repère orthonormé, dont chaque point est la représentation graphique d'un nombre complexe unique. Le nombre complexe associé à un point est appelé l'affixe de ce point. Une affixe est constituée d'une partie réelle et d'une partie imaginaire correspondant respectivement à l'abscisse et l'ordonnée du point. On associe en général le plan complexe à un repère orthonormé direct.
