Temps d'arrêtvignette|Temps d'impact et temps d'arrêt de trois échantillons de mouvement brownien. En théorie des probabilités, en particulier dans l'étude des processus stochastiques, un temps d'arrêt (également appelé temps d'arrêt optionnel, et correspondant à un temps de Markov ou moment de Markov défini) est une variable aléatoire dont la valeur est interprétée comme le moment auquel le comportement d'un processus stochastique donné présente un certain intérêt.
Processus de WienerEn mathématiques, le processus de Wiener est un processus stochastique à temps continu nommé ainsi en l'honneur de Norbert Wiener. Il permet de modéliser le mouvement brownien. C'est l'un des processus de Lévy les mieux connus. Il est souvent utilisé en mathématique appliquée, en économie et en physique. Le processus de Wiener est défini comme un mouvement brownien standard monodimensionnel, démarrant à l'origine, et à valeurs réelles.
Marche aléatoireEn mathématiques, en économie et en physique théorique, une marche aléatoire est un modèle mathématique d'un système possédant une dynamique discrète composée d'une succession de pas aléatoires, ou effectués « au hasard ». On emploie également fréquemment les expressions marche au hasard, promenade aléatoire ou random walk en anglais. Ces pas aléatoires sont de plus totalement décorrélés les uns des autres ; cette dernière propriété, fondamentale, est appelée caractère markovien du processus, du nom du mathématicien Markov.
Intégrale d'Itōvignette|Tracé d'une trajectoire échantillon d'un processus de Wiener, ou mouvement brownien, B, ainsi que son intégrale d'Itô par rapport à lui-même. L'intégration par parties ou le lemme d'Itô montre que l'intégrale est égale à (B2 - t)/2. L'intégrale d'Itô, appelée en l'honneur du mathématicien Kiyoshi Itô, est un des outils fondamentaux du calcul stochastique. Elle a d'importantes applications en mathématique financière et pour la résolution des équations différentielles stochastiques.
Chaîne de Markovvignette|Exemple élémentaire de chaîne de Markov, à deux états A et E. Les flèches indiquent les probabilités de transition d'un état à un autre. En mathématiques, une chaîne de Markov est un processus de Markov à temps discret, ou à temps continu et à espace d'états discret. Un processus de Markov est un processus stochastique possédant la propriété de Markov : l'information utile pour la prédiction du futur est entièrement contenue dans l'état présent du processus et n'est pas dépendante des états antérieurs (le système n'a pas de « mémoire »).
Espace de HardyLes espaces de Hardy, dans le domaine mathématique de l'analyse fonctionnelle, sont des espaces de fonctions analytiques sur le disque unité D du plan complexe. Soit f une fonction holomorphe sur D, on sait que f admet un développement en série de Taylor en 0 sur le disque unité : On dit alors que f est dans l'espace de Hardy H(D) si la suite appartient à l. Autrement dit, on a : On définit alors la norme de f par : La fonction appartient à H(D), par convergence de la série (série de Riemann convergente).
Doob's martingale convergence theoremsIn mathematics specifically, in the theory of stochastic processes Doob's martingale convergence theorems are a collection of results on the limits of supermartingales, named after the American mathematician Joseph L. Doob. Informally, the martingale convergence theorem typically refers to the result that any supermartingale satisfying a certain boundedness condition must converge.
Théorème de GirsanovDans la théorie des probabilités, le théorème de Girsanov indique comment un processus stochastique change si l'on change de mesure. Ce théorème est particulièrement important dans la théorie des mathématiques financières dans le sens où il donne la manière de passer de la probabilité historique qui décrit la probabilité qu'un actif sous-jacent (comme le prix d'une action ou un taux d'intérêt) prenne dans le futur une valeur donnée à la probabilité risque neutre qui est un outil très utile pour évaluer la valeur d'un dérivé du sous-jacent.
Ruine du joueurIn statistics, 'gambler's ruin' is the fact that a gambler playing a game with negative expected value will eventually go broke, regardless of their betting system. The concept was initially stated: A persistent gambler who raises his or her bet to a fixed fraction of the gambler's bankroll after a win, but does not reduce it after a loss, will eventually and inevitably go broke, even if each bet has a positive expected value.
Filtration (mathématiques)En mathématiques, une filtration sur un ensemble est une suite de parties croissante ou décroissante pour l'inclusion. Un espace filtré est un ensemble muni d'une filtration compatible avec sa structure. Les filtrations sont utilisées notamment : en algèbre pour ramener par exemple l'étude d'un espace vectoriel de dimension infinie à celle d'une suite d'espaces de dimension finie, en topologie pour décomposer un espace topologique à l'aide de CW-complexes finis, en statistique exploratoire pour modéliser un dendogramme de données brutes, y appliquer la notion d'homologie persistante, et ouvrir la voie à l'analyse topologique de données mais aussi en théorie des probabilités pour définir entre autres certaines classes de processus stochastiques, comme les martingales, ou encore les chaines de Markov.
