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Concept
Théorème de l'idéal premier dans une algèbre de Boole
Résumé
En mathématiques, un théorème de l'idéal premier garantit l'existence de certains types de sous-ensembles dans une algèbre. Un exemple courant est le théorème de l'idéal premier dans une algèbre de Boole, qui énonce que tout idéal d'une algèbre de Boole est inclus dans un idéal premier. Une variante de cet énoncé pour filtres sur des ensembles est connue comme le théorème de l'ultrafiltre. D'autres théorèmes sont obtenus en considérant les différentes structures mathématiques avec les notions d'idéal appropriées, par exemple, les anneaux et leurs idéaux premiers (en théorie des anneaux), ou les treillis distributifs et leurs idéaux maximaux (en théorie des ordres). Cet article se concentre sur le théorème de l'idéal premier en théorie des ordres.
Bien que les divers théorèmes de l'idéal premier puissent paraître simples et intuitifs, ils ne peuvent pas être déduits en général des axiomes de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel sans l'axiome du choix (en abrégé ZF). Au lieu de cela, certains énoncés s'avèrent équivalents à l'axiome du choix (AC), tandis que d'autres — le théorème de l'idéal premier dans une algèbre de Boole, par exemple — constituent une propriété strictement plus faible que AC. C'est grâce à ce statut intermédiaire entre ZF et ZF + AC (ZFC) que le théorème de l'idéal premier dans une algèbre de Boole est souvent pris comme un axiome de la théorie des ensembles. Les abréviations BPI ou PIT (pour les algèbres de Boole) sont parfois utilisées pour se référer à cet axiome supplémentaire.
Un idéal d'un ensemble partiellement ordonné est une partie (non vide) ordonné filtrante stable par minorants. Si, dans l'ensemble partiellement ordonné, toute paire {x, y} a un supremum x∨y, comme les ensembles partiellement ordonnés dans le présent article, alors cela est caractérisé de manière équivalente comme un ensemble non vide I stable par minorants mais aussi par supremum binaire (c'est-à-dire ). Un idéal I est premier si son complémentaire, au sens de la théorie des ensembles, dans l'ensemble partiellement ordonné est un filtre.
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