Groupe parfaitEn théorie des groupes (mathématiques), un groupe est dit parfait s'il est égal à son dérivé. Dans ce qui suit, le dérivé d'un groupe G sera noté D(G). Si un groupe G est parfait, l'image de G par un homomorphisme est un groupe parfait. En particulier, tout groupe quotient d'un groupe parfait est parfait.En effet, si f est un homomorphisme d'un groupe G (quelconque) dans un autre groupe, on a toujours D(f(G)) = f(D(G)). Si un groupe parfait G est sous-groupe d'un groupe H, il est contenu dans le dérivé de H.
Homologie des groupesEn algèbre homologique, l'homologie d'un groupe est un invariant attaché à ce groupe. Pour un groupe G, on note Z[G] l'algèbre du groupe G sur l'anneau des entiers relatifs Z. Soient alors M un Z[G]-module (ce qui revient à se donner un groupe abélien M et un morphisme de G dans le groupe des automorphismes de M), et une résolution projective de M. Les groupes d'homologie de G à coefficients dans M sont définis par : De façon duale les groupes de cohomologie de G à coefficients dans M sont définis par : où est une résolution injective de M.
Groupe métaplectiqueEn mathématiques, le groupe métaplectique Mp2n est un revêtement à deux feuillets du groupe symplectique Sp2n. Il peut être défini sur les nombres réels ou sur les nombres nombres p-adiques. De manière plus générale, on peut considérer la construction sur un corps local ou un corps fini arbitraire, voire sur l'Anneau des adèles. Le groupe métaplectique possède une représentation linéaire de dimension infinie particulièrement importante, la représentation de Weil.
Groupe spinorielEn mathématiques, le groupe spinoriel de degré n, noté Spin(n), est un revêtement double particulier du groupe spécial orthogonal réel SO(n,R). C’est-à-dire qu’il existe une suite exacte de groupes de Lie On peut aussi définir les groupes spinoriels d'une forme quadratique non dégénérée sur un corps commutatif. Pour n > 2, Spin(n) est simplement connexe et coïncide avec le revêtement universel de SO(n,R). En tant que groupe de Lie, Spin(n) partage sa dimension n(n–1)/2 et son algèbre de Lie avec le groupe spécial orthogonal.
Parité (physique)La symétrie P ou parité, appelée aussi inversion de l'espace, est une opération au cours de laquelle le vecteur position subit le changement suivant : ou encore, pour les trois coordonnées cartésiennes En mécanique quantique, les fonctions d'onde qui sont inchangées par l'opération de parité sont dites fonctions paires, tandis que celles qui changent de signe sous la même transformation sont dites fonctions impaires. L'électrodynamique quantique et la chromodynamique quantique possèdent la symétrie P.
Groupe quasi-simpleEn mathématiques, un groupe parfait G est un groupe quasi-simple si le groupe de ses automorphismes intérieurs est simple. En d'autres termes, s'il existe une suite exacte courte : où S est un groupe simple. Les groupes simples non abéliens sont quasi-simples. Les recouvrements du groupe alterné sont quasi-simples mais non simples, pour . Les sous-groupes normaux propres d'un groupe quasi-simple sont contenus dans son centre. Tout endomorphisme non trivial d'un groupe fini quasi-simple est un automorphisme.
Groupe de LorentzLe groupe de Lorentz est le groupe mathématique constitué par l'ensemble des transformations de Lorentz de l'espace de Minkowski. Les formules mathématiques : des lois de la cinématique de la relativité restreinte ; des équations de champ de Maxwell dans la théorie de électromagnétisme ; de l'équation de Dirac dans la théorie de l'électron sont toutes invariantes sous les transformations de Lorentz. En conséquence, le groupe de Lorentz exprimerait la symétrie fondamentale de plusieurs lois de la nature.
Spin-1/2In quantum mechanics, spin is an intrinsic property of all elementary particles. All known fermions, the particles that constitute ordinary matter, have a spin of 1/2. The spin number describes how many symmetrical facets a particle has in one full rotation; a spin of 1/2 means that the particle must be rotated by two full turns (through 720°) before it has the same configuration as when it started. Particles having net spin 1/2 include the proton, neutron, electron, neutrino, and quarks.
Particle physics and representation theoryThere is a natural connection between particle physics and representation theory, as first noted in the 1930s by Eugene Wigner. It links the properties of elementary particles to the structure of Lie groups and Lie algebras. According to this connection, the different quantum states of an elementary particle give rise to an irreducible representation of the Poincaré group. Moreover, the properties of the various particles, including their spectra, can be related to representations of Lie algebras, corresponding to "approximate symmetries" of the universe.
AnyonEn physique quantique, un anyon est un type de particule propre aux systèmes à deux dimensions. Ni boson ni fermion, l'anyon en est une généralisation. Prédits et théorisés depuis plus de quatre décennies, les premières preuves expérimentales de l'existence des anyons ne datent que de 2020. Le concept d'anyon est utile lorsqu’on s’intéresse à un système à deux dimensions tel que le graphène ou l’.
