Concept
Dualité de Pontriaguine
Concepts associés (22)
Théorie des représentations
La théorie des représentations est une branche des mathématiques qui étudie les structures algébriques abstraites en représentant leurs éléments comme des transformations linéaires d'espaces vectoriels, et qui étudie les modules sur ces structures algébriques abstraites. Essentiellement, une représentation concrétise un objet algébrique abstrait en décrivant ses éléments par des matrices et les opérations sur ces éléments en termes d'addition matricielle et de produit matriciel.
Caractère (mathématiques)
En mathématiques, un caractère est une notion associée à la théorie des groupes. Un caractère sur un groupe G est un morphisme de G dans le groupe multiplicatif K* d'un corps commutatif K. Les caractères permettent une généralisation de l'analyse harmonique à de nombreux groupes. Il correspond à un cas particulier de représentation, celle complexe de degré 1. Par exemple, un « caractère de Dirichlet modulo n » est un caractère du groupe fini (Z/nZ).
Mesure de Haar
En mathématiques, une mesure de Haar sur un groupe localement compact est une mesure de Borel quasi-régulière non nulle invariante par translation à gauche. Autrement dit, pour toute partie borélienne B de G, et pour tout g dans G, on a : L'existence d'une mesure de Haar est assurée dans tout groupe localement compact. Elle est finie sur les parties compactes de G. De plus, toute mesure borélienne complexe invariante par translations à gauche s'écrit où est un nombre complexe.
Groupe localement compact
Un groupe localement compact est, en mathématiques, un groupe topologique dont l'espace topologique sous-jacent est localement compact. Ces propriétés permettent de définir une mesure, dite mesure de Haar, et donc de calculer des intégrales et des moyennes ou encore une transformée de Fourier. Ces propriétés à la croisée de l'algèbre générale, de la topologie et de la théorie de la mesure sont particulièrement intéressantes, notamment pour leurs applications en physique.
Algèbre de von Neumann
Une algèbre de von Neumann (nommée en l'honneur de John von Neumann) ou W*-algèbre est une -algèbre d'opérateurs bornés sur un espace de Hilbert, fermée pour la topologie faible, et qui contient l'opérateur identité (définition « concrète ») . Les algèbres de von Neumann sont des C-algèbres. De façon surprenante, le théorème du bicommutant de von Neumann montre qu'elles admettent une définition purement algébrique équivalente à la définition topologique.
Gelfand representation
In mathematics, the Gelfand representation in functional analysis (named after I. M. Gelfand) is either of two things: a way of representing commutative Banach algebras as algebras of continuous functions; the fact that for commutative C*-algebras, this representation is an isometric isomorphism. In the former case, one may regard the Gelfand representation as a far-reaching generalization of the Fourier transform of an integrable function.
Groupe compact
En mathématiques, et plus particulièrement en analyse harmonique abstraite, un groupe compact est un groupe topologique dont l'espace topologique sous-jacent est compact. Les groupes compacts sont des groupes unimodulaires, dont la compacité simplifie l'étude. Ces groupes comprennent notamment les groupes finis et les groupes de Lie compacts. Tout groupe compact est limite projective de groupes de Lie compacts. Tout groupe discret fini est un groupe compact. En effet, tout espace discret fini est compact.
Algèbre de Hopf
En mathématiques, une algèbre de Hopf, du nom du mathématicien Heinz Hopf, est une bialgèbre qui possède en plus une opération (l'antipode) qui généralise la notion de passage à l'inverse dans un groupe. Ces algèbres ont été introduites à l'origine pour étudier la cohomologie des groupes de Lie. Les algèbres de Hopf interviennent également en topologie algébrique, en théorie des groupes et dans bien d'autres domaines. Enfin, ce qu'on appelle les groupes quantiques sont souvent des algèbres de Hopf « déformées » et qui ne sont en général ni commutatives, ni cocommutatives.
Représentation unitaire
En mathématiques, une représentation unitaire d'un groupe G est une représentation linéaire π de G sur un espace de Hilbert complexe V telle que π(g) est un opérateur unitaire pour tout g ∈ G. La théorie générale est bien développée dans le cas où G est un groupe topologique localement compact (séparé) et les représentations sont fortement continues. La théorie a été largement appliquée en mécanique quantique depuis les années 1920, particulièrement sous l'influence par le livre de 1928 de Hermann Weyl, Gruppentheorie und Quantenmechanik.
Groupe topologique
En mathématiques, un groupe topologique est un groupe muni d'une topologie compatible avec la structure de groupe, c'est-à-dire telle que la loi de composition interne du groupe et le passage à l'inverse sont deux applications continues. L'étude des groupes topologiques mêle donc des raisonnements d'algèbre et de topologie. La structure de groupe topologique est une notion essentielle en topologie algébrique. Les deux axiomes de la définition peuvent être remplacés par un seul : Un morphisme de groupes topologiques est un morphisme de groupes continu.