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Concept
Parallélisme (géométrie)
Résumé
En géométrie affine, le parallélisme est une propriété relative aux droites, aux plans ou plus généralement aux sous-espaces affines. La notion de parallélisme a été initialement formulée par Euclide dans ses Éléments, mais sa présentation a évolué dans le temps, passant d'une définition axiomatique à une simple définition.
La notion de parallélisme est introduite dans le Livre I des Éléments d'Euclide. Pour Euclide, une droite s'apparente plutôt à un segment.
Définition 35 : « Les parallèles sont des droites qui, étant situées dans un même plan, et étant prolongées à l'infini de part et d'autre, ne se rencontrent ni d'un côté ni de l'autre. »
Proposition 27 : « Si une droite, tombant sur deux droites, fait des angles alternes égaux entre eux, ces deux droites seront parallèles. »
Proposition 31 : « Par un point donné, il passe au moins une parallèle à une droite donnée. »
Le postulat 5 : « Si une droite, tombant sur deux droites, fait les angles intérieurs d'un même côté plus petits que deux droits, ces droites, prolongées à l'infini, se rencontreront du côté où les angles sont plus petits que deux droits. » permet de prouver :
l'unicité de la parallèle à une droite donnée passant par un point donné ;
la proposition 29 : « Si deux droites sont parallèles, toute droite coupant l'une et l'autre, forme avec celle-ci des angles alternes égaux. » ;
la proposition 30 : « Deux droites distinctes parallèles à une même droite sont parallèles entre elles. » ;
la proposition 32 : « La somme des angles d'un triangle est égale à 180°. » ;
la proposition 33 : « Deux droites qui joignent des mêmes côtés de droites parallèles et de même longueur sont parallèles et de même longueur. » (la figure tracée dans la proposition 33 est un parallélogramme) ;
la proposition 34 : « Les côtés opposés et les angles opposés dans un parallélogramme sont égaux, et la diagonale coupe le parallélogramme en deux triangles égaux. ».
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