Pavage apériodique

En mathématiques, et plus particulièrement en géométrie, un pavage apériodique est un pavage non périodique ne contenant pas de sections périodiques arbitrairement grandes. Les pavages de Penrose sont les exemples les plus connus de pavages apériodiques, mais il existe plusieurs autres méthodes pour en construire. Les pavages apériodiques servent de modèles mathématiques pour les quasi-cristaux, des objets physiques découverts en 1982 par Dan Shechtman, mais dont la structure locale exacte est encore mal comprise. On appelle pavage apériodique un pavage (non périodique) ne contenant pas de parties périodiques arbitrairement grandes (pour éviter des pavages non périodiques tels qu'un pavage périodique déformé en un nombre fini d'endroits, et qu'un pavage périodique déformé en un nombre infini d'endroits « isolés » (distribués « non uniformément »)). Plus formellement, soit un ensemble de n tuiles de l'espace euclidien à d dimensions ; notant S l'ensemble des translatés , l’enveloppe de T est l'adhérence de S dans la topologie dite locale, pour laquelle deux tuiles sont de distance si elles coïncident dans une boule de centre l'origine et de rayon , éventuellement après une translation de norme . Avec ces définitions, un pavage est apériodique si son enveloppe ne contient que des pavages non périodiques. On vérifie ainsi, par exemple, que partant d'un pavage périodique et modifiant un nombre fini de tuiles, l'enveloppe du pavage non périodique résultant est le pavage périodique initial, et donc que le pavage modifié n'est pas apériodique. Pour de nombreux pavages « réguliers », comme ceux construits plus bas, on a le résultat suivant : si un tel pavage est non périodique et que chaque type de tuile apparait de manière « uniformément dense » (c'est-à-dire que la proportion des tuiles de ce type dans les boules de rayon R tend vers une limite non nulle quand R tend vers l'infini), alors le pavage est apériodique. Un ensemble de tuiles est dit si ces tuiles ne peuvent former que des pavages non périodiques, qui sont alors nécessairement apériodiques.