Sous-groupe normalEn théorie des groupes, un sous-groupe normal (également appelé sous-groupe distingué ou sous-groupe invariantLien web|langue=fr|titre=Introduction à la théorie des groupes et de leurs représentations|auteur=Jean-Bernard Zuber|url=) H d'un groupe G est un sous-groupe globalement stable par l'action de G sur lui-même par conjugaison. Les sous-groupes normaux interviennent naturellement dans la définition du quotient d'un groupe. Les sous-groupes normaux de G sont exactement les noyaux des morphismes définis sur G.
Théorèmes de SylowEn théorie des groupes finis, les théorèmes de Sylow forment une réciproque partielle du théorème de Lagrange, d'après lequel, si H est sous-groupe d'un groupe fini G, alors l'ordre de H divise l'ordre de G. Ces théorèmes garantissent, pour certains diviseurs de l'ordre de G, l'existence de sous-groupes d'ordre égal à ces diviseurs, et donnent une information sur le nombre de ces sous-groupes. Ces théorèmes portent le nom du mathématicien norvégien Ludwig Sylow, qui les démontra en 1872.
Groupe parfaitEn théorie des groupes (mathématiques), un groupe est dit parfait s'il est égal à son dérivé. Dans ce qui suit, le dérivé d'un groupe G sera noté D(G). Si un groupe G est parfait, l'image de G par un homomorphisme est un groupe parfait. En particulier, tout groupe quotient d'un groupe parfait est parfait.En effet, si f est un homomorphisme d'un groupe G (quelconque) dans un autre groupe, on a toujours D(f(G)) = f(D(G)). Si un groupe parfait G est sous-groupe d'un groupe H, il est contenu dans le dérivé de H.
Groupe des quaternionsEn mathématiques et plus précisément en théorie des groupes, le groupe des quaternions est l'un des deux groupes non abéliens d'ordre 8. Il admet une représentation réelle irréductible de degré 4, et la sous-algèbre des matrices 4×4 engendrée par son image est un corps gauche qui s'identifie au corps des quaternions de Hamilton. Le groupe des quaternions est souvent désigné par le symbole Q ou Q8 et est écrit sous forme multiplicative, avec les 8 éléments suivants : Ici, 1 est l'élément neutre, et pour tout a dans Q.
Algèbre de LieEn mathématiques, une algèbre de Lie, nommée en l'honneur du mathématicien Sophus Lie, est un espace vectoriel qui est muni d'un crochet de Lie, c'est-à-dire d'une loi de composition interne bilinéaire, alternée, et qui vérifie la relation de Jacobi. Une algèbre de Lie est un cas particulier d'algèbre sur un corps. Soit K un corps commutatif. Une algèbre de Lie sur K est un espace vectoriel sur K muni d'une application bilinéaire de dans qui vérifie les propriétés suivantes : Le produit est appelé crochet de Lie (ou simplement crochet) de et .
Central seriesIn mathematics, especially in the fields of group theory and Lie theory, a central series is a kind of normal series of subgroups or Lie subalgebras, expressing the idea that the commutator is nearly trivial. For groups, the existence of a central series means it is a nilpotent group; for matrix rings (considered as Lie algebras), it means that in some basis the ring consists entirely of upper triangular matrices with constant diagonal. This article uses the language of group theory; analogous terms are used for Lie algebras.
Automorphisme intérieurUn automorphisme intérieur est une notion mathématique utilisée en théorie des groupes. Soient G un groupe et g un élément de G. On appelle automorphisme intérieur associé à g, noté ιg, l'automorphisme de G défini par : Pour un groupe abélien, les automorphismes intérieurs sont triviaux. Plus généralement, l'ensemble des automorphismes intérieurs de G forme un sous-groupe normal du groupe des automorphismes de G, et ce sous-groupe est isomorphe au groupe quotient de G par son centre.
Focal subgroup theoremIn abstract algebra, the focal subgroup theorem describes the fusion of elements in a Sylow subgroup of a finite group. The focal subgroup theorem was introduced in and is the "first major application of the transfer" according to . The focal subgroup theorem relates the ideas of transfer and fusion such as described in . Various applications of these ideas include local criteria for p-nilpotence and various non-simplicity criteria focussing on showing that a finite group has a normal subgroup of index p.
Groupe quasi-simpleEn mathématiques, un groupe parfait G est un groupe quasi-simple si le groupe de ses automorphismes intérieurs est simple. En d'autres termes, s'il existe une suite exacte courte : où S est un groupe simple. Les groupes simples non abéliens sont quasi-simples. Les recouvrements du groupe alterné sont quasi-simples mais non simples, pour . Les sous-groupes normaux propres d'un groupe quasi-simple sont contenus dans son centre. Tout endomorphisme non trivial d'un groupe fini quasi-simple est un automorphisme.
