Théorème de DesarguesEn mathématiques, le théorème de Desargues, du nom du mathématicien et architecte Girard Desargues, est un théorème de géométrie projective, qui possède plusieurs variantes en géométrie affine. Il s'énonce uniquement en matière d'alignement de points et d'intersection de droites (voir ci-contre). Le théorème de Desargues se démontre dans un plan ou un espace construit sur un corps quelconque (non nécessairement commutatif).
Géométrie synthétiqueLa géométrie synthétique ou géométrie pure est fondée sur une approche axiomatique (donc, « purement logique ») de la géométrie. Elle constitue une branche de la géométrie étudiant diverses propriétés et divers théorèmes uniquement par des méthodes d'intersections, de transformations et de constructions. Elle s'oppose à la géométrie analytique et refuse systématiquement l'utilisation des propriétés analytiques des figures ou l'appel aux coordonnées. Ses concepts principaux sont l'intersection, les transformations y compris par polaires réciproques, la logique.
Alignement (géométrie)vignette|Sur cette figure, les points a1,a2,a3 sont alignés, ainsi que les points b1,b2,b3. En revanche, les points a1,a2,b3 ne sont pas alignés. En géométrie, l’alignement est une propriété satisfaite par certains familles de points, lorsque ces derniers appartiennent collectivement à une même droite. Deux points étant toujours alignés en vertu du premier axiome d’Euclide, la notion d’alignement ne présente d’intérêt qu’à partir d’une collection de trois points.
Droite projectiveEn géométrie, une droite projective est un espace projectif de dimension 1. En première approche (en oubliant sa structure géométrique), la droite projective sur un corps , notée , peut être définie comme l'ensemble des droites vectorielles du plan vectoriel . Cet ensemble s'identifie à la droite à laquelle on ajoute un point à l'infini. La notion de droite projective se généralise en remplaçant le corps par un anneau. Une droite vectorielle de , et donc un point de la droite projective , est définie par un point de cette droite autre que l'origine.
Projective line over a ringIn mathematics, the projective line over a ring is an extension of the concept of projective line over a field. Given a ring A with 1, the projective line P(A) over A consists of points identified by projective coordinates. Let U be the group of units of A; pairs (a, b) and (c, d) from A × A are related when there is a u in U such that ua = c and ub = d. This relation is an equivalence relation. A typical equivalence class is written U[a, b]. P(A) = { U[a, b] : aA + bA = A }, that is, U[a, b] is in the projective line if the ideal generated by a and b is all of A.
Droite à l'infiniDans le plan projectif, il est possible de définir un plan affine en choisissant une droite projective quelconque, que l'on appelle alors droite à l'infini associée à ce plan affine. Deux droites affines strictement parallèles correspondent à deux droites projectives qui s'intersectent en un point situé sur la droite à l'infini, dit point à l'infini. Réciproquement, il est toujours possible de compléter un plan affine par une droite à l'infini de façon à obtenir un plan projectif, dit complété projectif de ce plan affine.
Droite (mathématiques)En géométrie, le mot droite désigne un objet formé de points alignés. Une droite est illimitée des deux côtés, et sans épaisseur (dans la pratique, elle est représentée, sur une feuille, par une ligne droite ayant bien entendu des limites — celles de la feuille — et une épaisseur — celle du crayon). Pour les Anciens, la droite était un concept « allant de soi », si « évident » que l'on négligeait de préciser de quoi l'on parlait. L'un des premiers à formaliser la notion de droite fut le Grec Euclide dans ses Éléments.
BirapportLe birapport, ou rapport anharmonique selon la dénomination de Michel Chasles est un outil puissant de la géométrie, en particulier la géométrie projective. La notion remonte à Pappus d'Alexandrie, mais son étude systématique est réalisée en 1827 par Möbius. thumb|Les divisions sont supposées régulières. Le birapport de C, D par rapport à A, B est : . thumb|Les divisions sont supposées régulières. Le birapport de C, D par rapport à A, B est : .
Théorème de Pappusvignette|Configuration de Pappus : Dans l'hexagone AbCaBc, où les points A, B, C, d'une part et a, b, c d'autre part, sont alignés, les points X, Y, Z le sont aussi. Le théorème de Pappus est un théorème de géométrie concernant l'alignement de trois points : si on considère trois points alignés A, B, C et trois autres points également alignés a, b, c, les points d'intersection des droites (Ab)-(Ba), (Ac)-(Ca), et (Bc)-(Cb) sont également alignés.
Quadrangle completEn géométrie plane, un quadrangle complet (parfois, simplement quadrangle) est la figure formée par quatre points A, B, C et D, tels que trois quelconques d'entre eux ne soient pas alignés : ce sont les sommets du quadrangle. Les six droites joignant ces points deux à deux sont les côtés du quadrangle. Deux côtés qui n'ont pas de sommet en commun sont dits opposés. Deux côtés opposés (non parallèles) ont un point commun appelé point diagonal du quadrangle.
