Corps de nombresEn mathématiques, un corps de nombres algébriques (ou simplement corps de nombres) est une extension finie K du corps Q des nombres rationnels. En particulier, c'est une extension algébrique : tous les éléments de K sont des nombres algébriques, dont le degré divise le degré de l'extension. C'est aussi une extension séparable car Q est de caractéristique nulle donc parfait. Tout sous-corps de C engendré par un nombre fini de nombres algébriques est un corps de nombres.
Discriminant d'un corps de nombresdroite|vignette|upright=1.6|Un domaine fondamental de l'anneau des entiers du corps K obtenu à partir de en adjoignant une racine de . Ce domaine fondamental se trouve à l'intérieur de . Le discriminant de K est 49 = 7. En conséquence, le volume du domaine fondamental est 7 et K n'est ramifié qu'en 7. En mathématiques, le discriminant d'un corps de nombres est un invariant numérique qui, moralement, mesure la taille de l'anneau des entiers de ce corps de nombres.
Norme d'idéalEn algèbre commutative, la norme d'un idéal est une généralisation de la notion de norme d'un élément dans une extension de corps. Il est particulièrement important en théorie des nombres puisqu'il mesure la taille d'un idéal d'un anneau d'entiers R a priori compliqué en fonction d'un idéal dans un anneau plus simple. Lorsque l'anneau plus simple est Z, la norme d'un idéal non nul I de R est simplement le cardinal de l'anneau quotient fini R/I. Soit A un anneau de Dedekind, K son corps des fractions et B sa fermeture intégrale dans une extension finie séparable L de K.
Formule du nombre de classesEn théorie des nombres, la formule du nombre de classes relie de nombreux invariants importants d'un corps de nombres à une valeur spécifique de sa fonction zêta de Dedekind. Nous partons des données suivantes : K est un corps de nombres. où est le nombre de plongements réels de K, et plongements complexes K. la fonction zêta de Dedekind de K. le nombre de classes, le cardinal du groupe des classes d'idéaux de K. le régulateur de K. le nombre de racines de l'unité dans K. est le discriminant de l'extension .
Théorème des unités de DirichletEn théorie algébrique des nombres, le théorème des unités de Dirichlet détermine, pour un corps de nombres K – c'est-à-dire pour une extension finie du corps Q des nombres rationnels –, la structure du « groupe des unités » (ou : groupe des inversibles) de l'anneau de ses entiers algébriques. Il établit que ce groupe est isomorphe au produit d'un groupe cyclique fini et d'un groupe abélien libre de rang où r désigne le nombre de morphismes de K dans R et r le nombre de paires de morphismes conjugués de K dans C à valeurs non toutes réelles.
Décomposition des idéaux premiers dans les extensions galoisiennesEn mathématiques, l'interaction entre le groupe de Galois G d'une extension galoisienne de corps de nombres L/K (ou de corps de nombres p-adiques, ou de corps de fonctions), et la manière dont les idéaux premiers de l'anneau O des entiers se décomposent sous forme de produits d'idéaux premiers de O, est à la base de nombreux développements fructueux en théorie algébrique des nombres. Le cas d'une extension non nécessairement galoisienne est traitée dans l'article « Décomposition des idéaux premiers ».
Richard DedekindJulius Wilhelm Richard Dedekind (né le à Brunswick et mort le dans la même ville) est un mathématicien allemand et un proche disciple de Ernst Kummer en arithmétique. Pionnier de l'axiomatisation de l'arithmétique, il a proposé une définition axiomatique de l'ensemble des nombres entiers ainsi qu’une construction rigoureuse des nombres réels à partir des nombres rationnels (méthode des « coupures » de Dedekind).
K-théorie algébriqueEn mathématiques, la K-théorie algébrique est une branche importante de l'algèbre homologique. Son objet est de définir et d'appliquer une suite de foncteurs K de la catégorie des anneaux dans celle des groupes abéliens. Pour des raisons historiques, K et K sont conçus en des termes un peu différents des K pour n ≥ 2. Ces deux K-groupes sont en effet plus accessibles et ont plus d'applications que ceux d'indices supérieurs. La théorie de ces derniers est bien plus profonde et ils sont beaucoup plus difficiles à calculer, ne serait-ce que pour l'anneau des entiers.
Groupe des classes d'idéauxEn mathématiques, et plus précisément en algèbre, la théorie des corps de nombres – les extensions finies du corps Q des rationnels – fait apparaître un groupe abélien fini construit à partir de chacun de ces corps : son groupe des classes d'idéaux. Les premiers groupes de classes rencontrés en algèbre furent des groupes de classes de formes quadratiques : dans le cas des formes quadratiques binaires, dont l'étude a été faite par Gauss, une loi de composition est définie sur certaines classes d'équivalence de formes.
Hypothèse de RiemannEn mathématiques, l'hypothèse de Riemann est une conjecture formulée en 1859 par le mathématicien allemand Bernhard Riemann, selon laquelle les zéros non triviaux de la fonction zêta de Riemann ont tous une partie réelle égale à 1/2. Sa démonstration améliorerait la connaissance de la répartition des nombres premiers et ouvrirait des nouveaux domaines aux mathématiques. Cette conjecture constitue l'un des problèmes non résolus les plus importants des mathématiques du début du : elle est l'un des vingt-trois fameux problèmes de Hilbert proposés en 1900, l'un des sept problèmes du prix du millénaire et l'un des dix-huit problèmes de Smale.
