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Concept
Représentation irréductible
Résumé
En mathématiques et plus précisément en théorie des représentations, une représentation irréductible est une représentation non nulle qui n'admet qu'elle-même et la représentation nulle comme sous-représentations. Le présent article traite des représentations d'un groupe. Le théorème de Maschke démontre que dans de nombreux cas, une représentation est somme directe de représentations irréductibles. Dans le cas des groupes finis, les informations liés aux représentations irréductibles sont encodées dans la table de caractères du groupe.
Dans toute la suite de l'article, G désigne un groupe et (V, ρ) une représentation linéaire de G sur un corps K.
Une représentation (V, ρ) est dite irréductible si V et {0} sont distincts et sont les deux seuls sous-espaces stables.
Un caractère d'une représentation est dit irréductible si la représentation associée l'est.
La théorie des représentations s'exprime aussi en termes de G-modules, c'est-à-dire de modules sur l'algèbre K[G] du groupe. V dispose naturellement d'une structure de G module. Dans ce contexte, la définition prend la forme suivante :
Une représentation (V, ρ) est dite irréductible si V est simple en tant que G-module.
Une représentation (V, ρ) est dite isotypique si ses sous-G-modules simples sont isomorphes deux à deux.
Toute représentation de degré 1 est irréductible.
Il n'existe qu'une représentation irréductible et fidèle du groupe symétrique d'indice trois. L'article Représentations du groupe symétrique contient une analyse exhaustive des représentations irréductibles de ce groupe, ainsi que de celui d'indice quatre.
La représentation standard du groupe des isométries linéaires du plan euclidien (c'est-à-dire l'action linéaire naturelle du groupe orthogonal sur ce plan) est irréductible.
théorème de Maschke
Le théorème de Maschke indique que tout sous-espace irréductible de la représentation (V, ρ) est facteur direct, c'est-à-dire qu'il possède un sous-espace supplémentaire stable.
Source officielle
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