Racine carréeEn mathématiques élémentaires, la racine carrée d'un nombre réel positif x est l'unique réel positif qui, lorsqu'il est multiplié par lui-même, donne x, c'est-à-dire le nombre positif dont le carré vaut x. On le note ou x. Dans cette expression, x est appelé le radicande et le signe est appelé le radical. La fonction qui, à tout réel positif, associe sa racine carrée s'appelle la fonction racine carrée. En algèbre et analyse, dans un anneau ou un corps A, on appelle racine carrée de a, tout élément de A dont le carré vaut a.
Nombre transcendantEn mathématiques, un nombre transcendant sur les rationnels est un nombre réel ou complexe qui n'est racine d'aucun polynôme non nuloù n est un entier naturel et les coefficients a sont des rationnels non tous nuls, ou encore (en multipliant ces n + 1 rationnels par un dénominateur commun) qui n'est racine d'aucun polynôme non nul à coefficients entiers. Un nombre réel ou complexe est donc transcendant si et seulement s’il n'est pas algébrique. Comme tout nombre rationnel est algébrique, tout nombre transcendant est donc un nombre irrationnel.
Approximation diophantiennevignette|Meilleurs approximations rationnelles pour les nombres irrationnels Π (vert), e (bleu), φ (rose), √3/2 (gris), 1/√2 (rouge) et 1/√3 (orange) tracées sous forme de pentes y/x avec des erreurs par rapport à leurs vraies valeurs (noirs) par CMG Lee. En théorie des nombres, l'approximation diophantienne, qui porte le nom de Diophante d'Alexandrie, traite de l'approximation des nombres réels par des nombres rationnels.
Irrationnel quadratiqueUn irrationnel quadratique est un nombre irrationnel solution d'une équation quadratique à coefficients rationnels, autrement dit, un nombre réel algébrique de degré 2. Il engendre donc un corps quadratique réel Q(), où d est un entier positif sans facteur carré. Les irrationnels quadratiques sont caractérisés par la périodicité à partir d'un certain rang de leur développement en fraction continue (théorème de Lagrange). Les exemples les plus simples d'irrationnels quadratiques sont les racines carrées d'entiers naturels non carrés (le plus célèbre étant ).
Fraction continue généraliséeEn mathématiques, une fraction continue généralisée est une expression de la forme : comportant un nombre fini ou infini d'étages. C'est donc une généralisation des fractions continues simples puisque dans ces dernières, tous les a sont égaux à 1. Une fraction continue généralisée est une généralisation des fractions continues où les numérateurs et dénominateurs partiels peuvent être des complexes quelconques : où an (n > 0) sont les numérateurs partiels et les bn les dénominateurs partiels.
Joseph-Louis LagrangeJoseph Louis de Lagrange (en italien Giuseppe Luigi Lagrangia ou aussi Giuseppe Ludovico De la Grange Tournier), né à Turin le de parents français descendants de Descartes et mort à Paris le , est un mathématicien, mécanicien et astronome italien, originaire du royaume de Sardaigne et naturalisé français. À l'âge de trente ans, il quitte Turin et va séjourner à Berlin pendant vingt-et-un ans. Ensuite, il s'installe pour ses vingt-six dernières années à Paris où il prend la nationalité française en 1802.
Équation de Pell-Fermatthumb|Pierre de Fermat (1601-1665) affirme que l'équation de Pell-Fermat possède toujours une infinité de solutions si m = ±1, sans savoir que Bhāskara II (1114-1185) avait fait de même. En mathématiques et plus précisément en arithmétique, l'équation de Pell-Fermat est une équation diophantienne polynomiale quadratique. Si n est un entier positif qui n'est pas un carré parfait et m un entier non nul, l'équation prend la forme suivante : Les solutions recherchées sont les solutions telles que x et y soient des valeurs entières.
Fonction point d'interrogationLa fonction point d'interrogation, ou fonction de Minkowski, est, en mathématiques, une fonction, notée ? (ou ). Cette fonction fut définie par Hermann Minkowski en 1904 afin d'obtenir une application continue de l'ensemble des irrationnels quadratiques de l'intervalle ]0, 1[ vers l'ensemble des nombres rationnels du même intervalle. La définition courante actuelle fut posée par Arnaud Denjoy en 1938. Sa restriction aux nombres rationnels est une fonction strictement croissante, dérivable, et de dérivée partout nulle.
Nombre normalEn mathématiques, un nombre normal en base 10 est un nombre réel tel que dans la suite de ses décimales, toute suite finie de décimales consécutives (ou séquence) apparaît avec la même fréquence limite que n'importe laquelle des séquences de même longueur. Par exemple, la séquence 1789 y apparaît avec une fréquence limite 1/10 000. Émile Borel les a ainsi nommés lors de sa démonstration du fait que presque tout réel possède cette propriété. Notons l'ensemble des chiffres en base , et soit un nombre réel.
Fraction continue d'un irrationnel quadratiquethumb|Joseph-Louis Lagrange établit de manière rigoureuse les propriétés des fractions continues des irrationnels quadratiques. En mathématiques, et plus précisément en arithmétique, la fraction continue d'un irrationnel quadratique correspond à la représentation de ce nombre sous la forme Si le nombre irrationnel représenté est quadratique, c'est-à-dire s'il est solution d'une équation du second degré à coefficients rationnels, alors la suite d'entiers (an) est périodique à partir d'un certain rang.
