Concept
Centre d'un groupe
Concepts associés (23)
Groupe fini
vignette|Un exemple de groupe fini est le groupe des transformations laissant invariant un flocon de neige (par exemple la symétrie par rapport à l'axe horizontal). En mathématiques, un groupe fini est un groupe constitué d'un nombre fini d'éléments. Soit G un groupe. On note en général sa loi multiplicativement et on désigne alors son élément neutre par 1. Toutefois, si G est abélien, la loi est souvent notée additivement et son élément neutre est alors désigné par 0 ; ce n'est cependant pas une règle générale : par exemple, le groupe multiplicatif d'un corps commutatif est noté multiplicativement, bien qu'il soit abélien.
Groupe simple
En mathématiques, un groupe simple est un groupe non trivial qui ne possède pas de sous-groupe distingué autre que lui-même et son sous-groupe trivial. Un groupe est dit simple s'il a exactement deux sous-groupes distingués : ( étant l’élément neutre du groupe) et lui-même. Quelques exemples de groupes simples : Les seuls groupes abéliens simples sont les groupes finis d'ordre premier (ces groupes sont cycliques). Le groupe SO_3(R) des matrices spéciales orthogonales d'ordre 3 à coefficients réels est simple.
Groupe orthogonal
En mathématiques, le groupe orthogonal réel de degré n, noté O(n), est le groupe des transformations géométriques d'un espace Euclidien de dimension n qui préservent les distances (isométries) et le point origine de l'espace. Formellement, on introduit le groupe orthogonal d'une forme quadratique q sur E, espace vectoriel sur un corps commutatif K, comme le sous-groupe du groupe linéaire GL(E) constitué des automorphismes f de E qui laissent q invariante : pour tout vecteur x de E.
P-groupe
En mathématiques, et plus précisément en algèbre, un p-groupe, pour un nombre premier p donné, est un groupe (fini ou infini) dont tout élément a pour ordre une puissance de p. Les p-sous-groupes de Sylow d'un groupe fini sont un exemple important de p-groupes. Tout sous-groupe et tout quotient d'un p-groupe est un p-groupe. Réciproquement, si H est un p-sous-groupe normal d'un groupe G et si le quotient G/H est un p-groupe, alors G est un p-groupe. On peut tirer du point précédent qu'un produit semi-direct de deux p-groupes est un p-groupe.
Centralisateur
En mathématiques, et plus précisément en théorie des groupes, le centralisateur d'une partie X d'un groupe G est le sous-groupe de G formé par les éléments de G qui commutent avec tout élément de X. Soient G un groupe et x un élément de G. Le centralisateur de x dans G, noté CG(x) (ou C(x) si le contexte n'est pas ambigu) est, par définition, l'ensemble des éléments de G qui commutent avec x. Cet ensemble est un sous-groupe de G.
Quaternion
vignette|Plaque commémorative de la naissance des quaternions sur le pont de Broom (Dublin). En mathématiques, un quaternion est un nombre dans un sens généralisé. Les quaternions englobent les nombres réels et complexes dans un système de nombres plus vastes où la multiplication n'est cette fois-ci plus une loi commutative. Les quaternions furent introduits par le mathématicien irlandais William Rowan Hamilton en 1843. Ils trouvent aujourd'hui des applications en mathématiques, en physique, en informatique et en sciences de l'ingénieur.
Groupe parfait
En théorie des groupes (mathématiques), un groupe est dit parfait s'il est égal à son dérivé. Dans ce qui suit, le dérivé d'un groupe G sera noté D(G). Si un groupe G est parfait, l'image de G par un homomorphisme est un groupe parfait. En particulier, tout groupe quotient d'un groupe parfait est parfait.En effet, si f est un homomorphisme d'un groupe G (quelconque) dans un autre groupe, on a toujours D(f(G)) = f(D(G)). Si un groupe parfait G est sous-groupe d'un groupe H, il est contenu dans le dérivé de H.
Group isomorphism
In abstract algebra, a group isomorphism is a function between two groups that sets up a one-to-one correspondence between the elements of the groups in a way that respects the given group operations. If there exists an isomorphism between two groups, then the groups are called isomorphic. From the standpoint of group theory, isomorphic groups have the same properties and need not be distinguished.
Examples of groups
Some elementary examples of groups in mathematics are given on Group (mathematics). Further examples are listed here. Dihedral group of order 6 Consider three colored blocks (red, green, and blue), initially placed in the order RGB. Let a be the operation "swap the first block and the second block", and b be the operation "swap the second block and the third block". We can write xy for the operation "first do y, then do x"; so that ab is the operation RGB → RBG → BRG, which could be described as "move the first two blocks one position to the right and put the third block into the first position".
Clôture normale (théorie des groupes)
En théorie des groupes, la clôture normale d'un sous-ensemble d'un groupe est le plus petit sous-groupe normal de contenant La clôture normale de dans est l'intersection de tous les sous-groupes normaux de contenant : Le sous-groupe est engendré par l'ensemble de tous les conjugués dans des éléments de On peut donc aussi écrire Tout sous-groupe normal est égal à sa clôture normale. La clôture normale de l'ensemble vide est le sous-groupe trivial.