Polygone régulierEn géométrie euclidienne, un polygone régulier est un polygone à la fois équilatéral (tous ses côtés ont la même longueur) et équiangle (tous ses angles ont la même mesure). Un polygone régulier est soit convexe, soit étoilé. Tous les polygones réguliers convexes d'un même nombre de côtés sont semblables. Tout polygone régulier étoilé de n côtés a une enveloppe convexe de n côtés, qui est un polygone régulier. Un entier n supérieur ou égal à 3 étant donné, il existe un polygone régulier convexe de n côtés.
Duplication du cubevignette|upright=1.2|Un cube de volume unitaire (gauche) et un cube de volume 2 (droite).À partir de la figure de gauche, il est impossible de construire par les moyens géométriques traditionnels le cube de droite.|alt=croquis de 2 cubes En mathématiques, la duplication du cube, ou problème de Délos, est un problème géométrique classique faisant partie des trois grands problèmes de l'Antiquité, avec la quadrature du cercle et la trisection de l'angle. Il consiste à construire à la règle et au compas un cube de volume double de celui d'un cube donné.
Construction à la règle et au compasEuclide a fondé sa géométrie sur un système d'axiomes qui assure en particulier qu'il est toujours possible de tracer une droite passant par deux points donnés et qu'il est toujours possible de tracer un cercle de centre donné et passant par un point donné. La géométrie euclidienne est donc la géométrie des droites et des cercles, donc de la règle (non graduée) et du compas. L'intuition d'Euclide était que tout nombre pouvait être construit, ou « obtenu », à l'aide de ces deux instruments.
Nombre constructibleUn nombre constructible (sous-entendu à la règle et au compas) est la mesure d'une longueur associée à deux points constructibles à la règle (non graduée) et au compas. Ainsi, est un nombre constructible, mais ni ni π ne le sont. C'est effectivement en termes de longueurs que pensaient les mathématiciens grecs et ceux qui, à leur suite, ont cherché à déterminer quels étaient les points et les nombres constructibles de cette façon.
Quadrature du cerclevignette|Le carré de côté a la même aire que le cercle de rayon 1. La quadrature du cercle est un problème classique de mathématiques apparaissant en géométrie. Il fait partie des trois grands problèmes de l'Antiquité, avec la trisection de l'angle et la duplication du cube. Le problème consiste à construire un carré de même aire qu'un disque donné à l'aide d'une règle et d'un compas (voir Nombre constructible). La quadrature du cercle nécessiterait la construction à la règle et au compas de la racine carrée du nombre π, ce qui est impossible en raison de la transcendance de π.
Origamivignette|Boites d'origamis. L' est l'art du pliage du papier. Le mot vient du japonais — qui l'aurait lui-même emprunté au chinois (折紙/折纸, pinyin zhézhǐ « plier du papier » —, la tradition japonaise de cet art ayant fortement influencé son histoire en Occident. C'est un des plus anciens arts populaires, au , en Chine. Il y est appelé zhézhǐ (折紙/折纸), et daterait de la dynastie des Han de l'Ouest (−202 – 9) ; il aurait été apporté au Japon par des moines bouddhistes via Koguryŏ (pays recouvrant les actuelles Corées).
NeusisLa neusis (du grec ancien νεῦσις venant de νεύειν neuein « pencher vers »; pluriel : νεύσεις neuseis) est une méthode de construction géométrique utilisée dans l'Antiquité par les mathématiciens grecs dans des cas où les constructions à la règle et au compas étaient impossibles. La construction par neusis consiste à placer un segment de longueur fixée a entre deux courbes données l et m, de telle sorte que la droite support du segment passe par un point fixé P.
Constructible polygonIn mathematics, a constructible polygon is a regular polygon that can be constructed with compass and straightedge. For example, a regular pentagon is constructible with compass and straightedge while a regular heptagon is not. There are infinitely many constructible polygons, but only 31 with an odd number of sides are known. Some regular polygons are easy to construct with compass and straightedge; others are not.
Équation cubiquethumb|right|Une équation cubique admet au plus trois solutions réelles. En mathématiques, une équation cubique est une équation polynomiale de degré 3, de la forme ax + bx + cx + d = 0 avec a non nul, où les coefficients a, b, c et d sont en général supposés réels ou complexes. Les équations cubiques étaient connues des anciens Babyloniens, Grecs, Chinois, Indiens et Égyptiens. On a trouvé des tablettes babyloniennes () avec, en écriture cunéiforme, des tables de calcul de cubes et de racines cubiques.
Mathématiques des origamisLes pliages d'origamis sont utilisés en mathématiques pour procéder à des constructions géométriques. Selon les méthodes de pliages utilisées, on obtient des procédés plus riches que ceux propres à la règle et au compas. Le formalisme auquel il est le plus souvent fait référence est celui de Huzita. Il contient 6 axiomes qui sont en fait les 6 pliages de base permettant de décomposer n'importe quel origami. En voici la liste : Huzita axiom 1.png |'''Axiome 1.''' Un unique pli passe par deux points p_1 et p_2 spécifiés.
