Classe de ChernEn mathématiques, les classes de Chern sont des classes caractéristiques associées aux fibrés vectoriels. Elles tiennent leur nom du mathématicien sino-américain Shiing-Shen Chern, qui les a introduites en 1946 dans le cas complexe. Les classes de Chern ont des applications importantes en mathématiques, notamment en topologie et géométrie algébriques, et en physique dans l'étude des théories de Yang-Mills et des champs quantiques. Distinguer deux fibrés vectoriels sur une variété lisse est en général un problème difficile.
K-théorie algébriqueEn mathématiques, la K-théorie algébrique est une branche importante de l'algèbre homologique. Son objet est de définir et d'appliquer une suite de foncteurs K de la catégorie des anneaux dans celle des groupes abéliens. Pour des raisons historiques, K et K sont conçus en des termes un peu différents des K pour n ≥ 2. Ces deux K-groupes sont en effet plus accessibles et ont plus d'applications que ceux d'indices supérieurs. La théorie de ces derniers est bien plus profonde et ils sont beaucoup plus difficiles à calculer, ne serait-ce que pour l'anneau des entiers.
Michael AtiyahSir Michael Francis Atiyah, né le à Londres et mort le , est un mathématicien anglais d'origine libanaise, fils de l'écrivain Edward Atiyah. Il est professeur à l'université d'Oxford, à l'université de Cambridge et à l'université de Princeton. Membre de la Royal Society depuis 1962, il en est président de 1990 à 1995. Il est lauréat de la médaille Fields 1966, du prix Abel 2004 et de la grande médaille 2010.
Dualité de PoincaréEn mathématiques, le théorème de de Poincaré est un résultat de base sur la structure des groupes d'homologie et cohomologie des variétés, selon lequel, si M est une variété « fermée » (i.e. compacte et sans bord) orientée de dimension n, le k-ième groupe de cohomologie de M est isomorphe à son (n – k)-ième groupe d'homologie, pour tout entier naturel k ≤ n : La dualité de Poincaré a lieu quel que soit l'anneau de coefficients, dès qu'on a choisi une orientation relativement à cet anneau ; en particulier, puisque toute variété a une unique orientation mod 2, la dualité est vraie mod 2 sans hypothèse d'orientation.
Classe caractéristiqueUne classe caractéristique est un objet mathématique défini et étudié notamment en topologie algébrique et en K-théorie, afin de différencier les fibrés vectoriels. De telles classes sont aujourd'hui comprises comme des invariants cohomologiques. La notion de classe caractéristique répond à une tentative de classification. Plus précisément, si est un fibré vectoriel, une classe caractéristique de est une classe dans la cohomologie de la base qui vérifie la condition suivante, dite de compatibilité : pour toute application continue , on a où est le fibré vectoriel induit sur par .
Intersection theoryIn mathematics, intersection theory is one of the main branches of algebraic geometry, where it gives information about the intersection of two subvarieties of a given variety. The theory for varieties is older, with roots in Bézout's theorem on curves and elimination theory. On the other hand, the topological theory more quickly reached a definitive form. There is yet an ongoing development of intersection theory. Currently the main focus is on: virtual fundamental cycles, quantum intersection rings, Gromov-Witten theory and the extension of intersection theory from schemes to stacks.
Friedrich HirzebruchFriedrich Ernst Peter Hirzebruch est un mathématicien allemand né le à Hamm et décédé le à Bonn. Il est notamment connu pour ses travaux sur la topologie, les variétés complexes et la géométrie algébrique. Il fut une personnalité de premier plan à son époque. Il a été décrit comme . En 1954, il généralise le théorème de Riemann-Roch en dimension arbitraire pour des variétés algébriques sur le corps des nombres complexes. Sa démonstration sera améliorée et étendue par Alexandre Grothendieck.
Médaille FieldsLa médaille Fields est la plus prestigieuse récompense en mathématiques avec le prix Abel. Elle est considérée comme équivalente à un prix Nobel inexistant pour cette discipline. Elle est attribuée tous les quatre ans depuis 1936 au cours du congrès international des mathématiciens à quatre mathématiciens au plus, tous de moins de . Les lauréats reçoivent chacun une médaille et . John Charles Fields, mathématicien canadien, propose la création de cette médaille en 1923 lors d'une réunion internationale à Toronto.
Géométrie non commutativeLa géométrie non commutative, développée par Alain Connes, est une branche des mathématiques, et plus précisément un type de géométrie algébrique distincte de la géométrie algébrique telle qu'on l'entend habituellement (celle développée par Alexandre Grothendieck), car s'intéressant à des objets définis à partir de structures algébriques non commutatives. L'idée principale est qu'un espace au sens de la géométrie usuelle peut être décrit par l'ensemble des fonctions numériques définies sur cet espace.
AlgèbreL'algèbre (de l’arabe الجبر, al-jabr) est une branche des mathématiques qui permet d'exprimer les propriétés des opérations et le traitement des équations et aboutit à l'étude des structures algébriques. Selon l’époque et le niveau d’études considérés, elle peut être décrite comme : une arithmétique généralisée, étendant à différents objets ou grandeurs les opérations usuelles sur les nombres ; la théorie des équations et des polynômes ; depuis le début du , l’étude des structures algébriques (on parle d'algèbre générale ou abstraite).
